人教b版選修2-3高中數(shù)學(xué)第二章《概率》知能基礎(chǔ)測試（含解析）-預(yù)覽頁
【正文】 新產(chǎn)品 B研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤 100萬元，求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望． [解析 ] (1)設(shè)至少有一組研發(fā)成功的事件為事件 A且事件 B 為事件 A 的對立事件，則事件 B為一種新產(chǎn)品都沒有成功，因為甲，乙成功的概率分別為 23， 35. 則 P(B)＝ (1－ 23)(1 － 35)＝ 13 25＝ 215， 再根據(jù)對立事件概率之間的公式可得 P(A)＝ 1－ P(B)＝ 1315， 所以至少一種產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為 1315. (2)由題可設(shè)該企業(yè)可獲得利潤為 ξ ，則 ξ 的取值有 0,120＋ 0,100＋ 0,120＋ 100，即ξ ＝ 0,120,100,220，由獨立試驗的概率計算公式可得： P(ξ ＝ 0)＝ (1－ 23)(1 － 35)＝ 215； P(ξ ＝ 120)＝ 23(1 － 35)＝ 415； P(ξ ＝ 100)＝ (1－ 23) 35＝ 15； P(ξ ＝ 220)＝ 23 35＝ 25； 所以 ξ 的分布列如下： ξ 0 120 100 220 P(ξ ) 215 415 15 25 則數(shù)學(xué)期望 E(ξ )＝ 0 215＋ 120 415＋ 100 15＋ 220 25＝ 32＋ 20＋ 88＝ 140. 19． (本題滿分 12分 )(2021 湖南理， 18)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．每次抽獎都是從裝有 4個紅球、 6 個白球的甲箱和裝有 5 個紅球、 5個白球的乙箱中，各隨機摸出 1個 球．在摸出的 2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有 1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎． (1)求顧客抽獎 1次能獲獎的概率； (2)若某顧客有 3次抽獎機會，記該顧客在 3 次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為 X，求 X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [解析 ] (1)記事件 A1＝ {從甲箱中摸出的 1個球是紅球 }， A2＝ {從乙箱中摸出的 1個球是紅球 } ， B1＝ {顧客抽獎 1 次獲一等獎 }， B2＝ {顧客抽獎 1 次獲二等獎 }， C＝ {顧客抽獎 1次能獲獎 }．由題意， A1與 A2相互獨立， A1 A2 與 A1 A2互斥， B1與 B2互斥，且 B1＝ A1A2， B2＝ A1 A2 ＋ A1 A2， C＝ B1＋ P(A1)＝ 410＝ 25， P(A2)＝ 510＝ 12，所以 P(B1)＝ P(A1A2)＝ P(A1)P(A2)＝ 25 12＝ 15， P(B2)＝ P(A1 A2 ＋ A1 A2)＝ P(A1 A2 )＋ P( A1 A2)＝ P(A1)(1－ P(A2))＋ (1－ P(A1))P(A2)＝25(1 －12)＋ (1－25)12＝12，故所求概率為 P(C)＝ P(B1＋ B2)＝ P(B1)＋ P(B2)＝15＋12＝710. (2)顧客抽獎 3次獨立重復(fù)試驗，由 (1)知，顧客抽獎 1次獲一等獎的概率為 15，所以 X～B(3， 15)． 于是 P(X＝ 0)＝ C03(15)0(45)3＝ 64125， P(X＝ 1)＝ C13(15)1(45)2＝ 48125， P(X＝ 2)＝ C23(15)2(45)1＝ 12125， P(X＝ 3)＝ C33(15)3(45)0＝ 1125. 故 X的分布列為 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)＝ 3 15＝ 35.
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