211 數(shù)列（二） 學(xué)案（人教b版必修5）-預(yù)覽頁
【正文】 ＋ 2－ an＋ 1＝ (an＋ 1－ an)－ an＋ 1＝－ an. ∴ an＋ 6＝－ an＋ 3＝－ (－ an)＝ an. ∴ 數(shù)列 {an}是周期數(shù)列，且 T＝ 6. ∴ a2 011＝ a335 6＋ 1＝ a1＝ 1. 對(duì)點(diǎn)講練 例 1 證明 an＝ n2n2＋ 1＝ 1－1n2＋ 1 an＋ 1－ an＝ 1n2＋ 1－ 1?n＋ 1?2＋ 1 ＝ [?n＋ 1?2＋ 1]－ ?n2＋ 1??n2＋ 1?[?n＋ 1?2＋ 1] ＝2n＋ 1?n2＋ 1?[?n＋ 1?2＋ 1]. 由 n∈ N*，得 an＋ 1－ an0，即 an＋ 1an. ∴ 數(shù)列 {an}為遞增數(shù)列 ． 變式訓(xùn)練 1 解 若 {an}為遞增數(shù)列，則 an＋ 1－ an≥ 0. 即 (n＋ 1)3－ a(n＋ 1)－ n3＋ an≥ 0恒成立 ． 即 a≤ (n＋ 1)3－ n3＝ 3n2＋ 3n＋ 1恒成立， 即 a≤ (3n2＋ 3n＋ 1)min， ∵ n∈ N*， ∴ 3n2＋ 3n＋ 1的最小值為 7. ∴ a的取值范圍為 a≤ 7. 例 2 解 因?yàn)?an＋ 1－ an＝ ?? ??910 n＋ 18－ n9 ， 則當(dāng) n≤ 7時(shí)， ?? ??910 n＋ 1 n2＋ 1. 因?yàn)?an0，所以 an＝ n2＋ 1－ n. (2)證明 an＋ 1an＝ ?n＋ 1?2＋ 1－ ?n＋ 1?n2＋ 1－ n ＝ n2＋ 1＋ n?n＋ 1?2＋ 1＋ ?n＋ 1?1. 又因?yàn)?an0，所以 an＋ 1an，所以數(shù)列 {an}是遞減數(shù)列 ． 10． (1)證明 an＋ 3＝ 1－ 1an＋ 2＝ 1－ 11－ 1an＋ 1＝ 1－ 11－ 11－ 1an ＝ 1－ 11－ 1an－ 1an＝ 1－ 11－ anan－ 1＝ 1－ 1an－ 1－ anan－ 1 ＝ 1－ 1－ 1an－ 1＝ 1－ (1－ an)＝ an.∴ an＋ 3＝ an. (2)解 由 (1)知數(shù)列 {an}的周期 T＝ 3， a1＝ 12， a2＝－ 1， a3＝ 2. ∴ a2 010＝ a3 670＝ a3＝ 2. 。8－ n9 ＝ 0， 當(dāng) n≥ 9時(shí)， ?? ??910 n＋ 1( n＋ 1) ＝ ?? ??910 n＋ 1… an－ 1an－ 2( n＋ 2)－ ?? ??910 n8－ n9 0， 當(dāng) n＝ 8時(shí)， ?? ??910 n＋
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