20xx年江西省南昌市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） word版含解析-預(yù)覽頁
【正文】 間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出平面 PEB 與平面 PDC 所成二面角的余弦值． 【解答】 證明：（ Ⅰ ）在等腰梯形 ABCD 中，過點(diǎn) D 作 DE⊥ AB 于點(diǎn) E， 如圖所示：有 ∴ 在 △ ABD 中，有 AB2=AD2+BD2，即 AD⊥ BD 又因?yàn)槠矫?PAD⊥ 平面 ABCD 且交線為 AD， ∴ BD⊥ 平面 PAD．﹣﹣﹣﹣﹣ 解：（ Ⅱ ） 由平面 PAD⊥ 平面 ABCD，且 △ PAD 為正三角形， E 為 AD 的中點(diǎn)， ∴ PE⊥ AD，得 PE⊥ 平面 ABCD． 如圖所示，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA 所在直線為 x 軸， DB 所在直線為 y 軸，過點(diǎn)D 平行于 PE 所在直線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 由條件 AD=DC=BC=2，則 AE=DE=1， ， ． 則 D（ 0， 0， 0）， E（ 1， 0， 0）， ， ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 在等腰梯形 ABCD 中，過點(diǎn) C 作 BD 的平行線交 AD 延長線于點(diǎn) F 如圖所示： 則在 Rt△ CDF 中，有 ， DF=1， ∴ ．﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣ （另解：可不作輔助線，利用 求點(diǎn) C 坐標(biāo)） ∴ ， ，設(shè)平面 PDC 的法向量 則 ，取 ，則 y1=1， z1=﹣ 1， ∴ 面 PDC 的法向量 ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 同理有 ， ，設(shè)平面 PBE 的法向量 則 ， 取 y2=1，則 ， z2=0， ∴ 面 PBE 的法向量 ．﹣﹣ 設(shè)平面 PEB 與平面 PDC 所成二面角的平面角為 θ， ∴ ． 即平面 PEB 與平面 PDC 所成二面角的余弦值為 ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20．已知橢圓 C： =1（ a＞ b＞ 0）的左、右頂點(diǎn)分別為 A1， A2，左、右焦點(diǎn)分別為 F1， F2，離心率為 ，點(diǎn) B（ 4， 0）， F2為線段 A1B 的中點(diǎn)． （ Ⅰ ）求橢圓 C 的方程； （ Ⅱ ）若過點(diǎn) B 且斜率不為 0 的直線 l 與橢圓 C 的交于 M， N 兩點(diǎn)，已知直線A1M 與 A2N 相交于點(diǎn) G，試判斷點(diǎn) G 是否在定直線上？若是，請求出定直線的 方程；若不是，請說明理由． 【考點(diǎn)】 直線與橢圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ Ⅰ ）設(shè)點(diǎn) A1（﹣ a， 0）， F2（ c， 0），由題意得 a=4﹣ 2c，由橢圓的離心率 ，得 a=2c，求出 a， b，由此能示出橢圓 C 的方程． （ Ⅱ ）法一：根據(jù)橢圓的對稱性猜測點(diǎn) G 是與 y 軸平行的直線 x=x0上．假設(shè)當(dāng)點(diǎn) M 為橢圓的上頂點(diǎn)時，直線 l 的方 程為 ，此時點(diǎn) N ，聯(lián) 立 直 線 和直線 可得點(diǎn)，猜想點(diǎn) G 在直線 x=1 上，對猜想給予證明，得到點(diǎn) G 在定直線上x=1 上． 法二：設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2）， G（ x3， y3），由 B， M， N 三點(diǎn)共線，得：2x1x2﹣ 5（ x1+x2） +8=0，再由 A1， M， G 三點(diǎn)共線， A2， N， G 三點(diǎn)共線，推導(dǎo)出點(diǎn) G 在定直線 x=1 上． 法三：設(shè) l 的方程為 y=k（ x﹣ 4）， M（ x1， y1）， N（ x2， y2）．由 得（ 3+4k2）x2﹣ 32k2x+64k2﹣ 12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合 A1， M， G 三點(diǎn)共線， A2， N， G 三點(diǎn)共線，推導(dǎo)出點(diǎn) G 在定直線 x=1 上． 【解答】 解：（ Ⅰ ）設(shè)點(diǎn) A1（﹣ a， 0）， F2（ c， 0），由題意可知： ，即a=4﹣ 2c① 又因?yàn)闄E圓的離心率 ，即 a=2c② 聯(lián)立方程 ①② 可得： a=2， c=1，則 b2=a2﹣ c2=3 所以橢圓 C 的方程為 ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解：（ Ⅱ ）解法一：根據(jù)橢圓的對稱性猜測點(diǎn) G 是與 y 軸平行的直線 x=x0上． 假設(shè)當(dāng)點(diǎn) M 為橢圓的上頂點(diǎn)時，直線 l 的方程為 ，此時點(diǎn)N ， 則聯(lián)立直線 和直線 可得點(diǎn) 據(jù)此猜想點(diǎn) G 在直線 x=1 上，下面對猜想給予證明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2），聯(lián)立方程 可得：（ 3+4k2） x2﹣ 32k2x+64k2﹣ 12=0， △＞ 0 由韋達(dá)定理可得 ， （ *）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因?yàn)橹本€ ， ， 聯(lián)立兩直線方程得 （其中 x 為 G 點(diǎn)的橫坐標(biāo)）即證：， 即 3k（ x1﹣ 4） ?（ x2﹣ 2） =﹣ k（ x2﹣ 4） ?（ x1+2），即證 4x1x2﹣ 10（ x1+x2） +16=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 將（ *）代入上式可得 此式明顯成立，原命題得證．所以點(diǎn) G 在定直線上 x=1 上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解法二：設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2）， G（ x3， y3）， x1， x2， x3兩兩不等， 因?yàn)?B ， M ， N 三 點(diǎn) 共 線 ， 所 以， 整理得： 2x1x2﹣ 5（ x1+x2） +8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又 A1， M， G 三點(diǎn)共線，有： ① 又 A2， N， G 三點(diǎn)共線，有： ② ， 將 ① 與 ② 兩 式 相 除 得 ： 即 ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 將 2x1x2﹣ 5（ x1+x2） +8=0 即 代入得： 解得 x3=4（舍去）或 x3=1，所以點(diǎn) G 在定直線 x=1 上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解法三：由題意知 l 與 x 軸不垂直，設(shè) l 的方程為 y=k（ x﹣ 4）， M（ x1， y1）， N（ x2， y2）． 由 得（ 3+4k2） x2﹣ 32k2x+64k2﹣ 12=0， △ ＞ 0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2）， G（ x3， y3）， x1， x2， x3兩兩不等， 則 ， ， 由 A1， M， G 三點(diǎn)共線，有： ① 由 A2， N， G 三點(diǎn)共線，有： ② ① 與 ② 兩式相除得：﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣ 解得 x3=4（舍去）或 x3=1，所以點(diǎn) G 在定直線 x=1 上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 21．已知函數(shù) f（ x） =（ 2x﹣ 4） ex+a（ x+2） 2（ x＞ 0， a∈ R， e 是自然對數(shù)的底）． （ Ⅰ ）若 f（ x）是（ 0， +∞ ）上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ Ⅱ ）當(dāng) 時，證明：函數(shù) f（ x）有最小值， 并求函數(shù) f（ x）最小值的取值范圍． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】 （ Ⅰ ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 a 的范圍即可； （ Ⅱ ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 f（ x）的最小值，從而求出最小值的范圍即可． 【解答】 解：（ Ⅰ ） f39。=2xex+2a＞ 0，所以 y=f39。（ t） =0 且當(dāng) a→0 時 t→1 ，當(dāng) 時 t→0 ，所以 t 的取值范圍是（ 0， 1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又當(dāng) x∈ （ 0， t）， f
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