【正文】 數(shù)值積分 . （一） 數(shù)值積分的必要性 計(jì)算定積分 的原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)給出 . 例如 ， 在運(yùn)用解析法分析抽水試驗(yàn)資料的過(guò)程中 ， 幾乎所有含水層解析解的表達(dá)式中都包含有下面的 一些積分運(yùn)算： ()fx11 e x p ( )uI a d aa???? ? ?22 21 e x p ( )4u mrI a d aa B a?? ? ?? ? ?,2m?2230 2e x p ( )4I a d aa??? ? ?? ? ?240 e x p ( )I a d a???? ? ?這些積分都不能用初等函數(shù)表示，所以不能用解析 法求解。 用數(shù)值方法計(jì)算定積分的基 本思想是，將積分區(qū)間細(xì)分，在每個(gè)小區(qū)間上用簡(jiǎn)單函數(shù)代替復(fù)雜函 數(shù)。 插值型求積公式的誤差主要來(lái)源于插值誤差，由 插值法知道，如果被積函數(shù) ? ?fx ( , )ab在 上具有 1n?階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則求積公式（ ）的余項(xiàng)為 ? ?,ab?? ? ? ? ? ? ? ? ?1 11() ( 1 ) ! b nnnaR f f x d xn ????? ? ? 求積公式的余項(xiàng) 其中 10( ) ( ) .nnkkx x x? ????? 如果某個(gè)求積公式，對(duì)于比較多的函數(shù)能夠準(zhǔn)確成 程度。 ()fx? ?1 0,nf ?? ? () 由于當(dāng) 是次數(shù)不超過(guò) n 次代數(shù)多項(xiàng)式 時(shí)有 因此插值型求積公式 至少有 n 次代數(shù)精度。 其中， ()kky f x?若假定求積公式的節(jié)點(diǎn) 為等距分布， kx, , 0 , 1 ,k bax a k h h k nn?? ? ? ?? ?() nb kka kf x d x A y????則插值求積公式 () 就叫做 N ew ton C ot es? 公式。 ? ? 它的幾何意義就是用 ? ?? ?( ) ( )2b a f a f b??近似代替曲邊梯形的面積 ()ba f x dx?。 0 a a+b/2 b y ()y f x? SimpsonA 2 ()y p x?B 由于這個(gè)原因，公式 也稱拋物線公式。 （ )稱為 3 / 8Simpson 公式，若 (4)()fx 在 上連續(xù)，則公式 () 的誤差估計(jì)為 ? ?,ab? ? 5 ( 4 )3 ( ) ,80SE f h f a b??? ? ? ?() 在 NewtonCotes公式中，取 4, 4banh ??? ，則有 2( ) 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( )4 5 2baabf x d x C h f a f a h f f b h f b???? ? ? ? ? ? ? ?????? （ ) 通常把公式（ )稱作 Cotes公式。 3 復(fù)化求積公式 由于高階的 NewtonCotes公式不宜使用，而在比較大的積分區(qū)間上采用低階的 NewtonCotes公式進(jìn)行計(jì)算，精度又較低，為了提高求積的精度，常把積分區(qū)間分成若干相等的子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上使用低階公式，然后把結(jié)果加起來(lái)，這樣得到的求積公式叫做復(fù)化求積公式或復(fù)合求積公式。但是為了確定把積分區(qū)間 分成多少個(gè)子區(qū)間，即取多大， 則需依據(jù)誤差表達(dá)式作事先估計(jì)， 就要分析被積函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，而這是很困難的。簡(jiǎn)言之，利用公式 ()計(jì)算出 后，再檢驗(yàn)不等式 ? ?,ab1T ? ?,ab 2n?2T4T2nT2 nnTT ???（取絕對(duì)誤差） () 或 22nnnTTT ?? ?（取相對(duì)誤差） () 是否滿足，如果滿足，則取 為所求定積分之近似值，否則區(qū)間繼續(xù)分半，重復(fù)上述過(guò)程直至條件滿足。誤差的這種估計(jì)法稱為后天估計(jì)（或事后估計(jì)）。這個(gè)序列是用 和 作適當(dāng)?shù)木€性組合而得到的。 ? ? , 1, 2 , ,nSn ? Simpson2nT nT? ?nT nS2nSRomberg 下面從近似求積余項(xiàng)的分析來(lái)引出這種加速公式的一般形式。 表 1214 2 18 4 2 1TTST S CT S C R例 3． 計(jì)算定積分 211 ,dxx?解 （ 1）在 上用梯形公式得 [1,2]113[ ( 1 ) ( 2 ) ] 0 . 7 5 0 0 0 .24T f f? ? ? ? 并使誤差不超過(guò) . （ 2） 將 二等分 [1,2]132( ) ,23Hf? ? ?2 1 11 ( ) 0 .7 0 8 3 3 ,2T T H? ? ?1 2 141 0. 69 44 4.33S T T? ? ?（ 3） 將 四等分 [1,2]21 5 7[ ( ) ( ) ] 0 .6 8 5 7 1 ,2 4 4H f f? ? ?4 2 21 ( ) 0 . 6 9 7 0 2 ,2T T H? ? ?2 4 241 0 . 6 9 3 2 5 ,33S T T? ? ?21 2 12241 0 . 6 9 3 1 7 .4 1 4 1C S S? ? ???（ 4） 將 八等分 [1,2]41 9 11 13 15[ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 0. 69 12 2 ,4 8 8 8 8H f f f f? ? ? ? ?8 4 41 ( ) 0 .6 9 4 1 2 ,2T T H? ? ?4 8 441 0. 69 31 5 ,33S T T? ? ?22 4 22241 0 . 6 9 3 1 5 ,4 1 4 1C S S?????31 2 13341 0 . 6 9 3 1 5 .4 1 4 1R C C? ? ???由于 故計(jì)算可以停止。由于代數(shù)精度的次數(shù)是積分公式近似程度的一種量度，所以對(duì)于包含同樣節(jié)點(diǎn)數(shù)的積分公式，自然希望采用一種準(zhǔn)確度次數(shù)比較高的積分公式。 因此確實(shí)可以 找到一組 和 使求積公式（ ）的代數(shù) 精度從 次提高到 次。 ( 二） Gauss型求積公式的構(gòu)造 先從一個(gè)簡(jiǎn)單例子入手 對(duì)任何三次多項(xiàng)式 精確成立。這 就是 時(shí)的 GaussLegendre求積公式。因此有 1n? 1()nqx? n ()n x? [ , ]ab()x?12, , , nx x x 定理 3 Gauss求積公式 ()的 n個(gè)節(jié)點(diǎn) 是 上關(guān)于權(quán) 的 次正交多項(xiàng)式 的 個(gè)根 . [ , ]ab ()x? n ()n x? n 我們知道 ,對(duì)于某些固定的權(quán)函數(shù)及積分區(qū)間 , 都有相應(yīng)的正交多項(xiàng)式 ,只是與 相差一個(gè)常數(shù) ,它們的根就是Gauss型求積公式的節(jié)點(diǎn)。我們知道， Legendre多項(xiàng)式 [ 1,1]? n? ? ? ?? ? 22!2! nn n nP x xn??在 上正交，從而可取 為 [ 1,1]? ()n x?? ? ? ?? ? ? ?22!2!nnnnx P xn? ?這時(shí) Gauss型求積公式（ ）的節(jié)點(diǎn) 即為 的根，其求積系數(shù)為 ()nPx? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?11nnkk n k k n kx P xA d x d xx x x x x P x?????? ??????直接用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算 比較困難，事實(shí)上，我們可以得到更簡(jiǎn)便的系數(shù)公式。 由定理 6，不難得到 Gauss— Legendre求積公式的余項(xiàng)表達(dá)式為 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?421232! , 1 , 1 6 . 1 92 1 2 !nnnE f fnn???? ? ???? ?? Gauss— Chebyshev求積公式的余項(xiàng)表達(dá)式為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?221 , 1 , 12 2 ! nnE f fn? ???? ? ?（ ） 例 5 利用 時(shí)的 Gauss— Legendre求積公式計(jì)算 2n?311I dxx??解 作變換 3 1 3 1 2.22x t t??? ? ? ?于是有 1122d t d xItx????????由 GaussLegendre求積公式，得 ? ?211 . 0 9 8 0 3 9 3 .kkkI A f x????精確值為 l n 3 1 . 0 9 8 6 1 3 2 .I ??