自考線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)-預(yù)覽頁
【正文】 任意一個(gè)矩陣，一定存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得 二十五、階梯形矩陣定義：滿足下列兩個(gè)條件的矩陣稱為階梯形矩陣(1) 如果存在全零行(元素全為零的行)，則全零行都位于矩陣中非零行(元素不全為零的行)的下方(2) 各非零行中從左邊數(shù)起的第一個(gè)非零元素(稱為主元)的列指標(biāo)隨著行指標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大(注意：最直觀的判斷，從上到下從左到右，在非零元素的下方劃橫線，所有的線連接起來后看是否象個(gè)階梯 )二十六、行最簡形矩陣定義：將階梯形矩陣進(jìn)一步進(jìn)行初等變換，將主元全化為1，且這些主元所在列的其他 元素全化為零，得到的階梯形矩陣稱為的行最簡形矩陣(比喻：每一行非0的排頭兵都是1，1是老大，其所在列的其他元素都只能是0)二十七、子式與非零子式(1)子式: 在矩陣中，任意取定行和列，.位于這些行與列交叉處的個(gè)元素按原來的相對(duì)順序排成的階行列式稱為的一個(gè)階子式。=階梯形矩陣中非零行的行數(shù) ，在方程中反映了有效方程的個(gè)數(shù))定理：對(duì)矩陣施行初等變換，不改變矩陣的秩二十九、線性方程組的解定理：元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩推論1：含有個(gè)方程的元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是，且當(dāng)它有非零解時(shí)，必有無窮多個(gè)非零解。 (加法結(jié)合律)(3) 。 (數(shù)乘分配律)(7) 。否則，稱向量組線性無關(guān)。結(jié)論與判斷：(1)單獨(dú)一個(gè)零向量線性相關(guān)，單獨(dú)一個(gè)非零向量線性無關(guān)(2)兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)分量成比例(3)部分相關(guān)整體必然相關(guān)；整體無關(guān)部分必然無關(guān)(4)無關(guān)接長仍然無關(guān)；相關(guān)截短仍然相關(guān)(5) 任意個(gè)維向量必相關(guān)(個(gè)數(shù)大于維數(shù)就相關(guān))(6)設(shè)向量組可以由線性表示，且，則必線性相關(guān)(7)設(shè)向量組可以由線性表示，且線性無關(guān)，則21特征值為的特征值，(有多個(gè)特征值)結(jié)論：(1)的特征值為(2)的特征值為(3)的特征值為(4)的特征值為(有多個(gè)特征值)(5) (1) (跡) (主對(duì)角線上的元素之和)(6)(7) 正交矩陣的特征值只能是22特征向量為的特征向量，為的特征向量(1)也是的屬于的特征向量(2)如果都是的屬于的特征向量，且當(dāng)時(shí)，也是的屬于的特征向量(3)設(shè)，是方陣的兩個(gè)不同特征值，是的分別屬于，的特征向量，則不是的特征向量23二次型定義：此處省略個(gè)字二次型的秩任意一個(gè)二次型都可以表示成矩陣形式，若二次型，則矩陣的秩稱為二次型的秩，記為秩24二次型的標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)任意一個(gè)實(shí)系數(shù)的元二次型，總可以通過非退化線性變換化為變量的平方和形式，即則稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，其中是矩陣的秩25二次型的規(guī)范形當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)是時(shí)，即稱為二次型的規(guī)范形26慣性定理無論選取怎樣的非退化變換，將二次型化為規(guī)范形時(shí)，其正項(xiàng)的個(gè)數(shù)，負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)都是唯一確定的，這里稱為正慣性指數(shù)，稱為負(fù)慣性指數(shù)，稱為符號(hào)差27 正定二次型(正定矩陣)定義：如果實(shí)二次型對(duì)任意一組不全為0的實(shí)數(shù)，都有，則稱該二次型為正定二次型，正定二次型的矩陣稱為正定矩陣 (合同變換不改變二次型的正定性)實(shí)二次型正定的5個(gè)充要條件：(1)的所有順序主子式全大于0(2)的特征值全大于0(3)正慣性指數(shù)為(4)存在可逆矩陣,使(5)存在正交矩陣，使= 《線性代數(shù)》知識(shí)點(diǎn)遞進(jìn)歸納2. 兩個(gè)矩陣與間的幾個(gè)特性等價(jià)性相似性(~)合同性 (另外：矩陣本身還有正交性) 歷年?？伎键c(diǎn)編號(hào)內(nèi)容編號(hào)內(nèi)容1行列式的計(jì)算(方陣行列式、伴隨矩陣行列式、逆矩陣的行列式)11求特征值與特征向量2矩陣的乘法運(yùn)算12向量的內(nèi)積3求伴隨矩陣13向量的正交4求逆矩陣(最好用初等變換)14單位向量及向量長度5求矩陣、向量組、二次型的秩15將方陣化為相似對(duì)角形6解矩陣方程16二次型的矩陣7判斷方程組解的情況17二次型的秩8解線性方程組(齊次或者非齊次)18化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形9判斷向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)性19化二次型為規(guī)范形10求極大線性無關(guān)組20正定二次型26高崚嶒編
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