高二數(shù)學(xué)橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 與橢圓交點(diǎn)為 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， ∵ P 為弦 AB 的中點(diǎn)， ∴ x1＋ x2＝ 4 ， y1＋ y2＝ 2. 又 ∵ A 、 B 在橢圓上， ∴ x21＋ 4 y21＝ 16 ， x22＋ 4 y22＝ 16. 兩式相減，得 ( x21－ x22) ＋ 4( y21－ y22) ＝ 0 ， 即 ( x1＋ x2)( x1－ x2) ＋ 4( y1＋ y2)( y1－ y2) ＝ 0. ∴y1－ y2x1－ x2＝－ ? x1＋ x2?4 ? y1＋ y2?＝－12， 即 kAB＝－12. ∴ 所求直線方程為 y － 1 ＝－12( x － 2) ， 即 x ＋ 2 y － 4 ＝ 0. 【名師點(diǎn)評(píng)】 中點(diǎn)弦問題求解的關(guān)鍵是充分利用 “ 中點(diǎn) ” 這一條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及根與系數(shù)的關(guān)系 ． 本題中的法一是設(shè)出方程，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求出 k ；法二是 “ 設(shè)而不求 ” ，即設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程，整體求出斜率 ． 1．直線與橢圓有三種位置關(guān)系 (1)相交 —— 直線與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)； (2)相切 —— 直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； (3)相離 —— 直線與橢圓沒有公共點(diǎn)． 方法感悟 2．直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷 把直線與橢圓的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為直線和橢圓的公共點(diǎn)問題，而直線與橢圓的公共點(diǎn)問題，又可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組的解的問題，而它們的方程所組成的方程組的解的問題通常又可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問題，一元二次方程解的問題可以通過判別式來判斷，因此，直線和橢圓的位置關(guān)系，通?？捎上鄳?yīng)的一元二次方程的判別式來判斷．
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