高二數(shù)學(xué)直線與平面所成的角-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 構(gòu)成的圖形 ， 可以類(lèi)比平面內(nèi)的角 ． (2)符號(hào) α－ l－ β表示以 l為棱 ， α、 β為兩個(gè)半平面的二面角 ． (3)兩個(gè)平面相交 ， 可以構(gòu)成四個(gè)二面角 ． (4)在二面角 α－ l－ β的棱 l上任取一點(diǎn) O， 在兩半平面內(nèi)分別作射線 OA⊥ l， OB⊥ l， 則 ∠ AOB叫作二面角 α－ l－ β的平面角 ． 3． 二面角與平面法向量的關(guān)系 設(shè)兩平面 α ， β 所成角為 θ ，平面 α 、 β 的法向量分別為 n 1 、 n 2 ， n 1 與 n 2 所成的角為 θ 1 .則 θ 與 θ 1的關(guān)系為： θ ＝??? θ 1 0 ≤ θ 1 ≤π2π － θ 1 π2 θ 1 ≤ π，即 | co s θ |＝|n 1 | n AM→＝ 0 ＋a24＋ 2 a2＝9 a24， | AC1→|＝ 3 a24＋a24＋ 2 a2＝ 3 a ， | AM→|＝ a24＋ 2 a2＝32a ， 設(shè) AC1→與 AM→所成的角為 θ ， ∴ c o s θ ＝9 a243 a 3 a2＝32. ∴ θ ＝ 3 0 176。 AA1→＝ 0. ∴ ax ＝ 0 且 2 ay ＝ 0. ∴ x ＝ y ＝ 0 ，故 n ＝ ( λ ， 0 , 0 ) ． ∵ AC1→＝ ( －32a ，a2， 2 a ) ， 設(shè) AC1→與 n 所成角為 θ1， ∴ c o s θ1＝n . ∴ AC1與側(cè)面 ABB1A1所成的角為 3 0 176。S △ ABC ＝ CC 1 n| A1B→| ＝ 0. 因此， AF ⊥ EA 1 ， AF ⊥ ED . 又 EA 1 ∩ ED ＝ E ，所以 AF ⊥ 平面 A 1 ED . ( 3 ) 設(shè)平面 EFD 的法向量 u ＝ ( x ， y ， z ) ， 則????? u . (1)證明： AB⊥ A1C； (2)求二面角 AA1CB的余弦值． 解： ( 1 ) 證明： ∵ 三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 為直三棱柱， ∴ AA 1 ⊥ AB ， AA 1 ⊥ AC . 在 △ ABC 中， AB ＝ 1 ， AC ＝ 3 ， ∠ ABC ＝ 60 176。 A 1 C→＝ 1 0 ＋ 0 3 ＋ 0 ( － 3 ) ＝ 0 ， ∴ AB ⊥ A 1 C . ( 2 ) 可取 m ＝ AB→＝ ( 1 , 0 , 0 ) 為平面 AA1C 的法向量，設(shè)平面BA1C 的法向量為 n ＝ ( l ， m ， n ) ， 則 BC→ | n| ＝3 1 ＋ 1 0 ＋ 1 012＋ 02＋ 02 ? 3 ?2＋ 12＋ 12＝155. ∴ 二面角 A A1C B 的余弦值為155. 向量法求夾角的綜合應(yīng)用 例 3 如圖所示 ， 已知長(zhǎng)方體 ABCD－A1B1C1D1， AB＝ 2， AA1＝ 1， 直線BD與平面 AA1B1B所成的角為 30176。 BF→＝ 0n 18
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