高二數(shù)學(xué)解三角形-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 原點(diǎn)，邊 AC所在的射線為 x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系． 由三角函數(shù)的定義知，頂點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 ( c c os A ， c sin A ) ，容易知道 AC 邊上的高 BE 就是 B 點(diǎn)的縱坐標(biāo) c sin A ，于是△ ABC 的面積 S ＝12AC 求得 ? ________，再利用正弦定理求其余兩邊； ? 對(duì)于第 (2)類(lèi)，其解不一定唯一，由于三角形的形狀不能唯一確定，因而會(huì)出現(xiàn) ?________三種情況． ? 友情提示： 在 △ ABC中，如果已知邊 a， b和角 A，解的情況討論如下： ? 一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，有兩解、一解和無(wú)解三種情況． ? ① A為銳角，如下圖： ? absinA a＝ bsinA bsinAab a≥b ? ? ________解 ? ________解 ?________解 ? ________解 ? ② A為直角或鈍角，如下圖． ? ? ________解 ? ________解 ?________解 ________解 ? 歸納列表如下： 答案： ①asin A＝bsin B＝csin C ② b ＝ 2 R sin B ③ sin A ＝a2 R ④ sin C ⑤ a b ⑥ sin A sin B ⑦ a ＋ c b ⑧ 180176。 ＝ 1 ， ∴asin A＝bsin B＝csin C. ② 當(dāng) △ ABC 為銳角三角形時(shí)，如圖 ② ，過(guò)點(diǎn) A 作單位向量 j 垂直于 AC→，則〈 j ， AB→〉＝ 90176。AC→＋ j － ∠ C ) ＝ | j | AB→〉＝ ∠ A － 90176。 ，求角 A 、 C 和邊 c . ? 分析： 從方程的觀點(diǎn)看，正弦定理有三個(gè)等式，可視為三個(gè)方程，每個(gè)方程都含有四個(gè)量，知其三個(gè)量，便可求得第四個(gè)量．本題已知 △ ABC的兩邊和其中一邊的對(duì)角，運(yùn)用正弦定理可求出角 A，然后再利用三角形內(nèi)角和公式求得角 C，進(jìn)而求出邊 c. 解析： 由正弦定理：asin A＝bsin B， 得 sin A ＝a sin Bb＝3 sin45176。 時(shí)， C ＝ 180176。 ， c ＝b sin Csin B＝2 sin7 5176。 － 45176。sin45176。 ， C ＝ 15176。sin30176。 ＋ 30176。 ＝ 20sin75176。 ，若 c＝ ，解此三角形． 解析： ∵ b ＝ 5 ， c ＝ 5 3 ， ∠ B ＝ 30176。 . 當(dāng) C ＝ 60176。 ，此時(shí) a ＝ b ＝ 5. [ 變式訓(xùn)練 2] 在 △ ABC 中， (1) 已知 a ＝ 3 ， c ＝ 3 3 ，A ＝ 30176。 或 30176。 sin C sin C ＝ c os B 1 － c os ?π2＋ B ?2＋ c os2 B ＝ 1 ＋ 3 ， 即 2sin B (1 ＋ sin B ) ＋ 1 － 2sin2B ＝ 1 ＋ 3 ， 所以 sin B ＝32. 因?yàn)?0 B π ，所以 B ＝π3或 B ＝2π3. ( 2) 因?yàn)?a ＝ 4 ， S ＝ 5 3 ，由 S ＝12ac sin B 得 c ＝2 Sa sin B＝2 5 34 32＝ 5. ? 解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得出三角形的邊和角的大小，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解． ? [例 5] (2020 ， AC＝ 圖中 B， D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求 B，D的距離 (計(jì)算結(jié)果精確到 km， ? ≈， ≈)． ? 分析： 本題考查了應(yīng)用三角形知識(shí)求解實(shí)際問(wèn)題的能力．求解此類(lèi)解三角形問(wèn)題首先要能夠讀懂題意，分析清楚題意，要能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即解三角形問(wèn)題．在具體求解過(guò)程中要能夠明確三角形中的邊角關(guān)系，同時(shí)要注意多解情況和計(jì)算的準(zhǔn)確性． ? 解析： 在 △ ACD中， ∠ DAC＝ 30176。 － 60176。sin1
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