【正文】 換 ? ?? ?? jj st dsesFjtf ??? )(2 1)()]([)()]([)(1 sFLtftfLsF??拉氏正變換 拉氏反變換 拉氏變換對(duì) 由 F(s)到 f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，簡(jiǎn)稱拉氏反變換 下面來討論一些常見函數(shù)的拉普拉斯變換 工程中常見的函數(shù) (除少數(shù)例外 )有下列兩類 :(1) t的指數(shù)函數(shù)； (2) t的正整冪函數(shù)。第 7章 電路的拉普拉斯變換分析法 拉普拉斯變換的定義 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 拉普拉斯反變換 復(fù)頻域電路 電路的拉普拉斯變換分析法 拉普拉斯變換的定義 ?拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）是求解 常系數(shù)線性微分方程 的 工具 。其中 a為實(shí)數(shù)，且 a0。它和應(yīng)用對(duì)數(shù)計(jì)算數(shù)的乘除相類似。利用這些基本性質(zhì)可以方便地求出一些較為復(fù)雜函數(shù)的象函數(shù)，同時(shí)通過這些基本性質(zhì)可以將電路在時(shí)域內(nèi)的線性常微分方程變換為復(fù)頻域內(nèi)的線性代數(shù)方程。[ dtedt tdfdt tdfLtfL st由上式應(yīng)用分部積分法，有 ? ? ?? 0 )(])([)](39。[ ssFtfL ?)()]([ 2 sFstfL ???)()]([ )( sFstfL nn ????? 例 解 若電容元件 C的端電壓 uC(t)的拉氏變換式為 UC(s) 求電容 C中電流的象函數(shù) IC(s)。因此，下面介紹一種基本的方法， 部分分式法 。 為了分解 F(s)為部分分式，只需討論 D(s)=0的根。 例 ２ 解 求 的原函數(shù)。 F(s)可配方為 22222222)1(12)1(1 4)1(4)12(52)(????????????????ssssssssssssF直接查閱拉普拉斯變換表可得 0 )2s i n2c o s2(21 2s i n212c o s ]2)1(12)1(1[)]([222211?????????tttetetesssLsFLttt計(jì)算步驟大為簡(jiǎn)化 例 ３ 解 求 的原函數(shù)。 留數(shù) A11的求取 ，可將等式的兩邊乘以 令 s=s1 pss )( 1)()()( 11 sFsssF p?于是 ?? ?????? 1112113112111 )()()()( pp ssAssAssAAsF為此，引入輔助函數(shù) ?? ?????? 1112113112111 )()()()( pp ssAssAssAAsF對(duì) s微分得 ...))(1(...)(2)( 211113121 ??????? pp sspAssAAs sF1)(112ssssFA????1)(!21 12213sssFdsdA??1)()!1( 1 1111sskkk sFdsdkA ??顯然 同理 依此類推，得一般形式為 )()!1()( 111111 tetkAssAL tskkkk ????????? ?????????pnitsitsptsptsptspteAteAtteAtetpAtetpAsFLi21)1(12121111)()()( )()!2()()!1()(1111????? ?確定了系數(shù)，就可根據(jù)拉普拉斯變換直接，求取原函數(shù)。 復(fù)頻域電路 用拉氏變換分析電路暫態(tài)時(shí)可不必寫出微分方程再進(jìn)行變換，可 先將時(shí)域電路變成復(fù)頻域電路模型 ， 再根據(jù)復(fù)頻域電路直接寫出運(yùn)算形式的電路方程 ，使計(jì)算過程更為簡(jiǎn)化。 電容 C在復(fù)頻域中并聯(lián)形式的電路模型 電感元件 在時(shí)域中，有 L i ( t ) u ( t ) dtdiLtu ?)()0()()( ? Liss L IsUsisUsLsI)0()(1)( ??令 L[u (t)]=U (s),L[i(t)]=I(s)，對(duì)上式取拉氏變換 或 I ( s ) U ( s ) L i (0 ) sL 1 sL I ( s ) U ( s ) i (0 ) s sL )0(LisiL )0( 感抗 內(nèi)運(yùn)算電壓源 內(nèi)運(yùn)算電流源 串聯(lián)形式的電路模型 并聯(lián)形式的電路模型 互感元件 在時(shí)域中，有 L 1 i 2 ( t ) L 2 M i 1 ( t ) u 1 ( t ) u 2 ( t ) sL 1 I 2 ( s ) sL 2 sM I 1 ( s ) U 1 ( s ) U 2 ( s ) L 1 i 1 (0 ) M i2 (0 ) L 2 i 2 (0 ) M i1 (0 ) dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111????)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111????Miss M IiLsIsLsUMiss M IiLsIsLsU對(duì)等式兩邊取拉氏變換有 sM)0(1 Mi)0(2 Mi互感運(yùn)算阻抗 附加電壓源的方向與電流 i i2的參考方向有關(guān)。 （ 2） 畫出換路后的等值運(yùn)算電路； （ 3） 應(yīng)用電路分析方法求出響應(yīng)電壓、電流的象函數(shù)； （ 1） 求出換路前電路中所有電容元件上的初始電壓 uc (0) 和所有電感元件上的初始電流 iL (0)； 例 1 解 電路如圖所示， ，開關(guān) s閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)，在 t = 0時(shí)開關(guān) S閉合，求電路中 iL及 uC V1 0 0)0( ?Cu1000 μ F u C 200V i L S 10Ω 30Ω 開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以 (0 ) 5 ALi ? V1 0 0)0( ?Cu已知 可得運(yùn)算電路 0 . 1 s 30 10 I L ( s ) 100 s 1000 s 0 . 5 200 s U C ( s ) 0 . 1 s 30 10 I L ( s ) 100 s 1000 s 0 . 5 200 s U C ( s ) I 1 ( s ) I 2 ( s ) )(10))(( 21 ??? ssIssIssIssI100)()1 0 0 010()(1021 ???設(shè)回路電流為 I1(s)、 I2(s), 應(yīng)用回路電流法，可列出方程為 解得 221 )200()400 00700(5)(????sssssI22222111 )2 0 0(1 5 0 05)2 0 0(2 0 0)( ???????? sssKsKsKsI求其反變換得原函數(shù)為 Attetiti tL )()15 005()()( 2022 ????Atteti t )()15005()( 2022 ???電容上的電壓為 21 )2 0 0(3 0 0 0 02 0 01 5 )()(????? ssss L IsU C)V30 00 015 0()( 202200 ttC teetu ?一般來說，二階或二階以上的電路不用時(shí)域分析，而采用復(fù)頻域法求解更簡(jiǎn)便。 i1(0)=5A， i2(0)=0 從本例看出， 動(dòng)態(tài)元件的初值在換路時(shí)發(fā)生突變，不滿足換路定則，用復(fù)頻域法分析電路僅需要換路前 t=0的初值，無(wú)需考慮突變求 t=0+時(shí)的突變值