平面的法向量與平面的向量表示-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 AC ＝ ( x ， y ， z ) ， SA ⊥ 平面 ABCD ， SA ＝ AB ＝ BC ＝ 2 ， AD ＝ 1 ，在如圖所示的坐標(biāo)系 A xy z 中，分 別求平面 S C D 和平面 S A B 的一個(gè)法 向量． 返回 解： A (0 ， 0 ， 0) ， D (1 ， 0 ， 0) ， C (2 ， 2 ， 0) ， S (0 ， 0 ， 2) ， ∵ AD ⊥ 平面 S A B ， ∴ AD ＝ (1 ， 0 ， 0) 是平面 S A B 的一個(gè)法向量． 設(shè)平面 S C D 的法向量為 n ＝ (1 ， y ， z ) ， 則 n ( － 1 ， 0 ， 2) ＝－ 1 ＋ 2 z ＝ 0 ， ∴ z ＝12. ∴ n ＝ (1 ，－12，12) 即為平面 S C D 的一個(gè)法向量 . 返回 [ 例 2] 如圖，在正方體 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F ， M 分別為棱 BB 1 ，CD ， AA 1 的中點(diǎn)． ( 1) 證明： C 1 M ∥ 平面 A D E ； ( 2) 平面 A D E ⊥ 平面 A 1 D 1 F . [思路點(diǎn)撥 ] 建立空間坐標(biāo)系．求出平面 ADE與平面 A1D1F的法向量求解． 返回 [ 精解詳析 ] ( 1 ) 以 D 為原點(diǎn)，向量 DA 、 DC 、1DD的方向分別為x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1. 則 D (0 ， 0 ， 0) ， A (1 ， 0 ， 0) ，E (1 ， 1 ，12) ， C1(0 ， 1 ， 1) ， M (1 ， 0 ，12) ， DA ＝ (1 ， 0 ，0) ， DE ＝ (1 ， 1 ，12) ，1CM ＝ (1 ，－ 1 ，－12) ． 返回 設(shè)平面 A D E 的法向量為 m ＝ ( a ， b ， c ) ， 則???m ( 1 ，－ 1 ，－12) ＝ 0 ＋ 1 － 1 ＝ 0 ， ∴1CM⊥ m . 又 C1M ? 平面 A D E ， ∴ C1M ∥ 平面 A D E . 返回 ( 2) 由 D1(0 ， 0 ， 1) ， A1(1 ， 0 ， 1) ， F (0 ，12， 0) 得11DA＝(1 ， 0 ， 0) ，1DF＝ (0 ，12，－ 1) ， 設(shè)平面 A1D1F 的法向量為 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 則??? n ( 0 ， 2 ， 1) ＝ 0 － 2 ＋ 2 ＝ 0 ， ∴ m ⊥ n . ∴ 平面 A DE ⊥ 平面 A1D1F . 返回 [一點(diǎn)通 ] 設(shè)直線 l的方向向量 a＝ (a1， b1， c1)，平面 α的法向量 u＝ (a2， b2， c2)，平面 β的法向量 v＝ (a3， b3， c3)，且l?α， α與 β不重合，則 (1)l∥ α?a⊥ u?a11DB＝ 0 ，n211DA ＝ 0n 183
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