平面的法向量與平面的向量表示(參考版)
2024-08-16 06:30本頁面
【正文】 ( 0 ， 2 ， 1) ＝ 0 ， ∴ m ⊥ n ，故平面 AED ⊥ 平面 A1FD1. 返回 [例 3] 在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，求證： A1C⊥ 平面 BDC1. [思路點撥 ] 根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，找到 A1C在平面 ABCD和平面 CDD1C1內(nèi)的射影，由三垂線定理證明 BD⊥ A1C， C1D⊥ A1C. 返回 [精解詳析 ] 在正方體中， AA1⊥ 平面 ABCD，所以 AC是 A1C在平面 ABCD 內(nèi)的射影，又 AC⊥ BD，所以 BD⊥ A1C. 同理 D1C是 A1C在平面 CDD1C1內(nèi)的射影． 所以 C1D⊥ C1D∩BD＝ D，所以 A1C⊥ 平面 BDC1. 返回 [一點通 ] (1)三垂線定理及其逆定理主要用于證明空間兩條直線的垂直問題．對于同一平面內(nèi)的兩直線垂直問題也可用 “平移法 ”，將其轉(zhuǎn)化為空間兩直線的垂直問題，用三垂線定理證明． (2)當(dāng)圖形比較復(fù)雜時，要認(rèn)真觀察圖形，證題的思維過程是 “一定二找三證 ”，即 “一定 ”是定平面和平面內(nèi)的直線， “二找 ”是找平面的垂線、斜線和斜線在平面內(nèi)的射影，“三證 ”是證直線垂直于射影或斜線． 返回 5．正三棱錐 PABC中，求證： BC⊥ PA. 證明： 在正三棱錐 PABC中， P在底 面 ABC內(nèi)的射影 O為正三角形 ABC的 中心，連接 AO，則 AO是 PA在底面 A BC內(nèi)的射影，且 BC⊥ AO，所以 BC ⊥ PA. 返回 6．在空間四邊形 ABCD中， A在平面 BCD內(nèi)的射影 O1是 △ BCD的垂心，試證明 B在平面 ACD內(nèi)的射影 O2必是△ ACD的垂心． 證明： 連接 DO BO AO CO2. ∵ O1是 △ BCD的垂心， ∴ DO1⊥ BC. 又 AO1⊥ 平面 BCD， ∴ BC⊥ AD(三垂 線定理 )． ∵ BC是平面 ACD的斜線， BO2⊥ 平面 ACD， CO2是 BC在平面 ACD內(nèi)的射影， ∴ CO2⊥ AD(三垂線定理的逆定理 )．同理， AO2⊥ CD. 故 O2是 △ ACD的垂心． 返回 1．確定平面的法向量通常有兩種方法： (1)利用幾何體中已知的線面垂直關(guān)系； (2)用待定系數(shù)法，設(shè)出法向量，根據(jù)它和 α內(nèi)不共線 兩向量的垂直關(guān)系建立方程組進行求解．由于一個平面 的法向量有無數(shù)個，故可從方程組的解中取一個最簡單 的作為平面的法向量． 2．用空間向量處理平行問題的常用方法： (1)線線平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量平行． (2)線面平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量垂直． 返回 (3)面面平行轉(zhuǎn)化為平面法向量的平行． (4)線線垂直轉(zhuǎn)化為直線的方向向量垂直． (5)線面垂直轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量平行． (6)面面垂直轉(zhuǎn)化為平面的法向量垂直． 3．三垂線定理及逆定理是證明線線垂直的重要方法． 返回 點擊下圖進入“應(yīng)用創(chuàng)新演練” 。1D
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