全稱量詞和特稱量詞-預(yù)覽頁
【正文】 )是特稱命題，是真命題．(2)是全稱命題，是假命題．(3)是特稱命題，是假命題．二、能力提升8．對任意x3，xa恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案 (－∞，3]解析 對任意x3，xa恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a，∴a≤3.9．給出下列四個命題：①a⊥b?ab＝0，因此命題“存在a∈{向量}，使a時，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②為假命題，對任意x∈R，x2＋1≠0，∴③為假命題，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即當(dāng)x＝1時，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④為假命題．∴①②③④均為假命題．11．判斷下列命題的真假：(1)對任意x∈R，|x|0；(2)對任意a∈R，函數(shù)y＝logax是單調(diào)函數(shù)；(3)對任意x∈R，x2－1；(4)存在a∈{向量}，使ab＝0；②矩形都不是梯形；③存在x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的兩條直線的斜率之積等于－1.其中全稱命題是________．答案 ①②④解析?、佗谑÷粤肆吭~“所有的”，④含有量詞“任意”．10．四個命題：①任意x∈R，x2－3x＋20恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x22x－1＋．答案 0解析 x2－3x＋20，Δ＝(－3)2－420，∵當(dāng)x2或x1時，x2－3x＋20才成立，∴①為假命題．當(dāng)且僅當(dāng)x＝177。b＝0”是真命題．12．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在實數(shù)m，使不等式m＋f(x)0對于任意x∈R恒成立？并說明理由；(2)若存在實數(shù)x，使不等式m－f(x)0成立，求實數(shù)m的取值范圍．解 (1)不等式m＋f(x)0可化為m－f(x)，即m－x2＋2x－5＝－(x－1)2－－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m－4即可．故存在實數(shù)m使不等式m＋f(x)0對于任意x∈R恒成立，此時m－4. (2)不等式m－f(x)0可化為mf(x)．若存在實數(shù)x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m4.故所求實數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)．三、探究與拓展13．若任意x∈R，函數(shù)f(x)＝mx2＋x－m－a的圖像和x軸恒有公共點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍．解?、佼?dāng)m＝0時，f(x)＝x－a與x軸恒相交，所以a∈R；②當(dāng)m≠0時，二次函數(shù)f(x)＝mx2＋x－m－a的圖像和x軸恒有公共點(diǎn)的充要條件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一個關(guān)于m的二次不等式，恒成立的充要條件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.綜上所述，當(dāng)m＝0時，a∈R；當(dāng)m≠0時，a∈[－1,1
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