【正文】 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。 )(zX)(zX)(nx第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 29 /186 表示成有理分式形式 展成以下部分分式形式 式中，若 時(shí)，才存在整式部分系數(shù) （即上式右邊第一項(xiàng)），可用長(zhǎng)除法得到，而當(dāng) 時(shí)， ； 為 的各一階極點(diǎn)； 為 的一個(gè) k階極點(diǎn)。 )6(5)(2 ??? zzzzX 32 ?? z)(nx32)3)(2(5)( 21??????? zAzAzzzzX解 1)()2(21 ??????? ???zzzXzA1)()2(21 ??????? ???zzzXzA第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 34 /186 則 32)( ???? zzzzzX上式第一項(xiàng)只有極點(diǎn) ，由收斂域中 可知，該項(xiàng)的反變換應(yīng)為右邊因果序列，則 2?z 3?znzzZ )3(]3[1 ????? 0?n， 第二項(xiàng)只有極點(diǎn) ，同樣由收斂域中 可知，該項(xiàng)的反變換應(yīng)為左邊序列，則 ， 3??z 3?znzzZ )3(]3[1 ????? 1??n第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 35 /186 所以，所求序列為 ??????????1,)3(0,2)(nnnxnn或?qū)懗? )1()3()(2)( ????? nununx nn 由以上分析可見(jiàn)，在求 z反變換時(shí)，一定要考慮收斂域，注意區(qū)別哪些極點(diǎn)對(duì)應(yīng)右邊序列，哪些極點(diǎn)對(duì)應(yīng)左邊序列。下面通過(guò)例子對(duì)其進(jìn)行說(shuō)明。觀察 z變換的定義式 ，若 是右邊序列，當(dāng) 時(shí) ,z的冪逐漸減小，則此時(shí)，應(yīng)該將 展開(kāi) z的降冪級(jí)數(shù)；若 是左邊序列，當(dāng) 時(shí)， z的冪逐漸增加，則應(yīng)該將 展開(kāi) z的升冪級(jí)數(shù)。 ??????? ??? 2211 11 1)( zaazazzX)()( nuanx n?第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 42 /186 例 試用長(zhǎng)除法求 ， 的 z反變換 。分別運(yùn)用長(zhǎng)除法如下： 第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 45 /186 即 zzzzzzX 441664)( 23451 ?????? ?第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 46 /186 ?????????641641)(3212zzzzX 的冪級(jí)數(shù)形式為 所以 z反變換 為 )(zX5 4 3 1 2 321( ) ( 4 1 )15 64 16 4 4 16 64z z z z z zX z z z ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?)(nx21( 4 ) , 115()11( ) , 01 5 4nnnxnn??????? ?? ???第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 47 /186 . 圍線積分法 (留數(shù)法 ) 除了以上討論的求解 z反變換的兩種方法外， z反變換也可以用反演積分來(lái)計(jì)算。 ? ?? c n dzzzXjnx 1)(2 1)( ?第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 50 /186 直接計(jì)算式 （ ） 的圍線積分比較復(fù)雜， 當(dāng) 是有理分式時(shí)，通常都采用留數(shù)定理來(lái)求解。 解 的反變換為 由于收斂域?yàn)? ，所以 應(yīng)為因果序列，當(dāng) 時(shí)， 不是 的極點(diǎn)。 ?????????????2,)4(1511,)41(151)(2nnnxnn第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 58 /186 變換的性質(zhì)與定理 在研究離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)過(guò)程中，理解并掌握 z變換的一些常用性質(zhì)與定理是特別重要的。 Z [ ( ) ] ( ) , xxx n X z R z R??? ? ?Z [ ( ) ] ( ) , yyy n Y z R z R??? ? ?),m i n (),m a x (),()()]()([ ???? ????? yxyx RRzRRzbYzaXnbynaxZ)()( zbYzaX ? )(zX )(zY第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 60 /186 例 已知 ，求其 z變換。也就是說(shuō)， 的收斂域與 的收斂域相同， 或 可能除外。 另外，從以上分析可知，若序列 延遲一個(gè)單位，即 ，新序列的 z變換多乘一個(gè) ，所以，在后續(xù)內(nèi)容中，繪制信號(hào)流圖時(shí)常用 表示單位延遲?？梢?jiàn)序列 x(n)乘以實(shí)指數(shù)序列等效于 z平面尺度展縮。也就是說(shuō)在 z域發(fā)生了尺度變換。 證明 ?? ??? xx RzRzXnxZ ,)()]([?? ??? xx RzRzXnxZ ，)()]([ ***)(* nx )(nx????????????????????????? ?xxnnn nnnRzRzXznxznxznxnxZ，)(]))(([]))(([)()]([********第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 74 /186 若 ，則有 從上式可見(jiàn)， 的收斂域是 收斂域的倒置。 ()xn)(lim)0( zXx z ???120( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )nnnnX z x n u n z x n z x x z x z?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???l i m ( ) (0 )z X z x?? ?()xn)(zX )0(x ()xn)(zX第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 77 /186 8. 終值定理 對(duì)于因果序列 ，若 的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，且只允許單位圓上最多在 處有一階極點(diǎn)，則有 證明 依據(jù)序列移位性質(zhì)得 因?yàn)? 是因果序列，所以 ()xn ( ) [ ( ) ]X z Z x n?1z?11 )]([Re)]()1[(lim)(lim ???? ??? zzn zXszXznx[ ( 1 ) ( ) ] ( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ] nnZ x n x n z X z x n x n z??? ? ?? ? ? ? ? ? ??()xn11( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ] l i m [ ( 1 ) ( ) ]nnmnnmz X z x n x n z x m x m z?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 78 /186 )1( ?z又由于只允許 在 z=1處可能有一階極點(diǎn)，故 因子 將抵消這一極點(diǎn)，因此 在 上收斂，所以可取 z→ 1的極限。 [0 , ) , [0 , ]n m n? ? ?]1m ax [),(1)(1111)()]1()[()()]([)]([001102100 00，????????????????????????????????????????? ?? ??xmmmmmmm mnnnnnmnmRzzXzzzmxzzzmxzzzmxzmxzmxmxZ?111??z 1?z ()XzxzR??第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 82 /186 (時(shí)域卷積定理 ) 若 ； ，則 的 z變換為 ( ) [ ( ) ] , xxX z Z x n R z R??? ? ?( ) [ ( ) ] , hhH z Z h n R z R??? ? ?( ) ( ) ( )y n x n h n??( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) , m a x [ , ] m i n [ , ]x h x hY z Z y n Z x n h n X z H z R R z R R? ? ? ?? ? ? ? ? ? Y(z)的收斂域是 X(z)和 H(z)收斂域的重疊部分。如果 x(n)與 h(n)分別為線性移不變離散系統(tǒng)的激勵(lì)和單位抽樣響應(yīng)，那么在求系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí) y(n)時(shí)，可以避免卷積運(yùn)算，通過(guò) X(z)H(z)的逆變換求出 y(n)，在很多情況下，這樣會(huì)更方便些。 解： 1( ) ( ) , ( ) ( 1 )nnx n a u n h n b u n?? ? ?( ) [ ( ) ( ) ]Y z Z x n h n?dvbvzavvjdvbvzavvjnhnxZzYcc ?? ???????))((21121)]()([)(??abz ?第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 89 /186 的收斂域?yàn)? ，而 的收斂域?yàn)? ，即 ，則重疊部分為 ；因此圍線 c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn) ，用留數(shù)計(jì)算可得 ()Xv va? ()zHvz bv ?zvb?zavb??.,]))(([Re))((21)(abzabzabvzvbvzavvsdvbvzavvjzYavavc???????????????第 2章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的 Z域分析 90 /186 (parseval)定理 若 且 ，則