矩陣的轉(zhuǎn)置、乘法（初等變換）、逆-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 1 1 則 A1＝ 2 3 這表明 A不是滿(mǎn)秩矩陣 ， 則 A不可逆 ， A1不存在 ，因?yàn)?[AI]的左邊不能化為單位矩陣 。 例 4. 解矩陣方程 AX＝ B， 其中 2 1 0 5 1 A＝ 1 2 1 ， B＝ 2 3 0 1 2 1 4 解： ┌ 2 1 0 1 0 0 ┐ │ 1 2 1 0 1 0 │─→ └ 0 1 2 0 0 1 ┘ ┌ 1 2 1 0 1 0 ┐ │ 0 1 2 0 0 1 │─→ └ 0 0 4 1 2 3 ┘ ┌ 1 0 0 3/4 1/2 1/4 ┐ │ 0 1 0 1/2 1 1/2 │ └ 0 0 1 1/4 1/2 3/4 ┘ 3 2 1 A1＝ 1/4 2 4 2 1 2 3 3 2 1 5 1 ∴ X＝ A1B＝ 1/4 2 4 2 2 3 1 2 3 1 4 12 7 ＝－ 1/4 4 18 4 17 練習(xí) 2 個(gè) ? Page 174. 5 請(qǐng)用三種方法 1. 先求系數(shù)矩陣的逆矩陣 , 用伴隨矩陣的方法求逆矩陣 2. 也先求系數(shù)矩陣的逆矩陣 , 但用矩陣的初等變換的方法求逆矩陣 3. 用 Gauss消元法，請(qǐng) 用矩陣的方式表示肖元過(guò)程 2 求下列初等矩陣的逆矩陣 (１ ) ??????????????1 0 00 1 00 0 1(２ ) ??????????????1 0 0l 1 00 0 1??????????????1 0 00 0 10 1 0(3) (4) ??????????????1 0 00 k 00 0 1。 二 、 解矩陣方程 解矩陣方程 AX＝ B， 即求矩陣 X滿(mǎn)足此等式 。 ? 因此 ， 我們通常把矩陣 A與單位矩陣 I并列 ，構(gòu)成一個(gè) n 2n矩陣 ， 記作 [A E]， 再經(jīng)過(guò)初等行變換化為 [E A1]， 這樣就得到了 A1。 二、逆矩陣的概念和性質(zhì) 定義 對(duì)于 階矩陣 ，如果存在 階矩陣 則說(shuō)矩陣 A是 可逆 的，并把矩陣 B稱(chēng)為 A的一個(gè) 逆矩陣 . B,EBAAB ??n使得 n A例 設(shè) ,21212121,1111 ?????????????? ?? BA,EBAAB ??? .的一個(gè)逆矩陣是 AB?說(shuō)明 若 是可逆矩陣，則 的逆矩陣是 唯一 的 . A A事實(shí)上若設(shè) 和 是 的逆矩陣， B C A 則有 , ECAACEBAAB ????可得 EBB ? ? ?BCA? ? ?ABC? .CCE ??所以 的逆矩陣是唯一的。,2,1 mjnicd jiij ?? ???即 D=CT，亦即 BTAT=(AB)T. 方陣的行列式運(yùn)算滿(mǎn)足下述規(guī)律 : AA1 T ?. AA2 n?? ?.BAAB3 ?.定義 由 n 階矩陣 A 的元素（按原來(lái)的位置） .A記作稱(chēng)為方陣 A 的行列式 , 為數(shù)）階矩陣，是其中 ?nBA ,( 構(gòu)成的行列式， 方陣的行列式 TT AA ? .A?，設(shè)???????????333231232221131211aaaaaaaaaA1 .，???????????332313322212312111TaaaaaaaaaA332313322212312111TaaaaaaaaaA ?333231232221131211aaaaaaaaaA ?那么 332313322212312111TaaaaaaaaaA ? 于是 3332312322211312113aaaaaaaaa?????????????333231232221131211aaaaaaaaaA??????????333231232221131211aaaaaaaaaA?????????? ?2. 設(shè) A 為 3 階矩陣 , 333231232221131211aaaaaaaaaA?????????? ?.A3??那么 于是 ,為數(shù)?初等矩陣 amp。 即 A＝ (aij)m n， AT＝ (aji)n m 1 1 1 2 12 1 2 2 212nnm m m na a aa a aAa a a??????????????? ?? ?? ????????11 21 112 22 212mmTn n m na a aa a aAa a a?????????????? ? ? ? ? ? ? ???????110 1 ,23A?????? ??????例 若 ?TA則 矩陣的轉(zhuǎn)置滿(mǎn)足下述運(yùn)算規(guī)律 AA1 TT ?)(.TTT BABA2 ??? )(.TT AA3 ?? ?)(..????????? 311201TAB4 )(. TT AB?(ABC)T＝ CTBTAT 對(duì)于多個(gè)矩陣相乘，有 ? ?1 2 2 1T T T TttA A A A A A?證明：設(shè) ? ? ? ? ,nsijsmij bBaA ?? ??記 ? ? ? ?., mnijTTnmij dDABcCAB ?? ????由矩陣的乘法定義，有 ,1???skkijkji bac而 BT的第 i行為 ? ?,1 sii bb ?AT的第 j列為 ,1??????????jsjaa?因此 ? ?? ???skskkijkjkkiij baabd1 1,所以 ? ? ,2,1。 因此在矩陣的運(yùn)算中可以相應(yīng)的引入逆矩 陣的概念。 ? 如果把同樣的變換施加在單位矩陣上 ， 得到的就是 A的逆矩陣 。 所以 ， 如果在階梯化的過(guò)程中出現(xiàn)了 0行 ，則表示矩陣不可逆
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