【正文】 性。形，也是如此，直線這一概念是從拉緊的紗線，透過(guò)小孔的光線，筆直的路線等等現(xiàn)實(shí)事物中抽象出來(lái)的。其實(shí)，抽象的方法其他學(xué)科應(yīng)用也很廣泛，幾乎任何學(xué)科都有一些的抽象性的概念手段，如現(xiàn)代物理學(xué)中的各種“場(chǎng)”、“熵”、“勢(shì)”等等也都是比較抽象的概念；又例如力學(xué)中的剛體運(yùn)動(dòng)，常把一個(gè)物體視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，把運(yùn)動(dòng)軌跡看成一條曲線或直線，這就是典型的抽象手法?；仡欉@種深刻變革，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)的無(wú)限生命力，恰恰是源于其發(fā)展過(guò)程中的三個(gè)貌似相互矛盾、實(shí)則相互統(tǒng)一的特點(diǎn)，即：數(shù)學(xué)的抽象性、精確性和數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性。數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域不斷拓展，研究對(duì)象不斷擴(kuò)張。 純粹數(shù)學(xué)在20世紀(jì)經(jīng)歷了一系列激動(dòng)人心的發(fā)展，過(guò)去若干世紀(jì)以來(lái)積累的一些重大問(wèn)題，有許多已獲解決或是取得了重要進(jìn)展。除了費(fèi)馬大定理，像事關(guān)數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)的哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼奶岢?1931)、具有異乎尋常的微分結(jié)構(gòu)的“米爾諾怪球”的發(fā)現(xiàn)(1956)、揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在統(tǒng)一性的“阿蒂亞—辛格指標(biāo)定理”的證明(1963)、四色定理的攻克(1976)、有限單群分類(lèi)的完成(1980)、……等等，這些輝煌的智力成果，不斷使科學(xué)界震驚，而它們的獲得，都依賴(lài)于極度抽象的概念與方法。其抽象化也是達(dá)到了相當(dāng)高深的程度。由于數(shù)與形是事物所共有的本質(zhì)屬性的抽象，數(shù)學(xué)在其發(fā)展的早期就表現(xiàn)出解決因人類(lèi)實(shí)際需要而提出的各種問(wèn)題的功效。在目前的基礎(chǔ)教育和高等教育教學(xué)中，尤其是在高等工程技術(shù)教育中，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景，加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)與能力的培養(yǎng)，是十分必要和迫切的任務(wù)。我們?cè)诠こ填?lèi)或管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)教育中，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)回歸自然，回歸工程實(shí)際，回歸技術(shù)應(yīng)用，但我們不可能擺脫數(shù)學(xué)的抽象性特點(diǎn)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)嚴(yán)格性不是絕對(duì)的，一成不變的，而是相對(duì)的，發(fā)展的，體現(xiàn)人們的認(rèn)識(shí)逐漸深化的過(guò)程。再如對(duì)于下面的二次式我們可以驗(yàn)證，當(dāng)x=1,2,…,10000時(shí),都是素?cái)?shù)。只要該學(xué)科是不介入實(shí)驗(yàn)的，才是該門(mén)學(xué)科趨于成熟的表現(xiàn)。19世紀(jì)七、八十年代，還是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的早期，恩格斯曾對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用的狀況作過(guò)這樣的估計(jì)：“在固體力學(xué)中是絕對(duì)的，在氣體力學(xué)中是近似的，在化學(xué)中是簡(jiǎn)單的一次方程式，在生物學(xué)中等于零”。眾所周知，在相對(duì)論和量子力學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展中，數(shù)學(xué)都建有奇功：出于純粹數(shù)學(xué)的興趣而獲得的抽象成果(張量分析、無(wú)窮維空間等)恰恰分別為這兩種新興的物理理論提供了現(xiàn)成合用的數(shù)學(xué)工具。 生物學(xué)不用數(shù)學(xué)的時(shí)代也已一去不返。 “數(shù)學(xué)物理”、“數(shù)理化學(xué)”、“生物數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)”、“數(shù)理氣象學(xué)”……，一連串交叉學(xué)科的形成說(shuō)明了數(shù)學(xué)向其它自然科學(xué)領(lǐng)域滲透的廣度。 除了自然科學(xué)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、歷史學(xué)等過(guò)去認(rèn)為不適用數(shù)學(xué)的社會(huì)科學(xué)部門(mén)，數(shù)學(xué)方法也開(kāi)辟了廣闊的用武之地。20世紀(jì)四十年代以來(lái)，經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的數(shù)學(xué)化導(dǎo)致了數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的誕生，參與這門(mén)交叉學(xué)科建立的有大數(shù)學(xué)家馮納什，他根據(jù)對(duì)策論數(shù)學(xué)原理提出非合作對(duì)策的“納什均衡”，成為當(dāng)前熱門(mén)的“雙贏”概念的理論基礎(chǔ)。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)不僅影響著人們的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，而且正在影響著人們的文化生活。 還是在上個(gè)世紀(jì)的前半葉，著名社會(huì)活動(dòng)家W 現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用變得越來(lái)越直接。如果說(shuō)數(shù)學(xué)間接地引導(dǎo)了前兩次產(chǎn)業(yè)革命(以微積分為基礎(chǔ)的118世紀(jì)科學(xué)的高漲成為以蒸汽機(jī)等為主導(dǎo)技術(shù)的第一次產(chǎn)業(yè)革命的先導(dǎo)；與數(shù)學(xué)分析的進(jìn)步密不可分的19世紀(jì)數(shù)學(xué)物理的發(fā)展為以發(fā)電機(jī)、無(wú)線電通信等為主體技術(shù)的第二次產(chǎn)業(yè)革命奠定了理論基礎(chǔ))，那么它在20世紀(jì)發(fā)生的第三次產(chǎn)業(yè)革命中則更多地站到了前臺(tái)。諾依曼是第一臺(tái)通用電子計(jì)算機(jī)(ENIAC)的主要研制者之一，他的程序內(nèi)存思想至今仍是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的主要設(shè)計(jì)理念。 除了計(jì)算機(jī)技術(shù)，數(shù)值模擬已成為航空、航天設(shè)計(jì)的有效工具，類(lèi)似的數(shù)值模擬方法正在被應(yīng)用于包括核工業(yè)在內(nèi)的許多技術(shù)部門(mén)，以代替耗資巨大的試驗(yàn)；1980年以來(lái)，小波分析直接應(yīng)用于通信、石油勘探、圖像壓縮等技術(shù)領(lǐng)域；現(xiàn)代醫(yī)學(xué)儀器工業(yè)也離不開(kāi)數(shù)學(xué)(如CT掃描儀的研制，就是以現(xiàn)代數(shù)學(xué)中所謂“拉東積分”理論為基礎(chǔ)，有關(guān)的科學(xué)家因此榮獲了諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng))，等等。高斯曾同時(shí)將數(shù)學(xué)比作科學(xué)的“皇后”和“仆人”，這確是恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)。 四、數(shù)學(xué)對(duì)人類(lèi)文明和科技進(jìn)步的影響其實(shí)上面對(duì)數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用性的描述中，我們可以體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)人類(lèi)文明和科技進(jìn)步的影響，但下面我們就120世紀(jì)里數(shù)學(xué)在科學(xué)中的作用和影響作進(jìn)一步的概述。簡(jiǎn)潔明了的數(shù)學(xué)定理一經(jīng)證明就是永恒的真理，極其優(yōu)美而且無(wú)懈可擊。 20世紀(jì)最大的科學(xué)成就莫過(guò)于愛(ài)因斯坦的狹義和廣義相對(duì)論了，但是如果沒(méi)有黎曼于1854年發(fā)明的黎曼幾何，以及凱萊，西勒維斯特和諾特等數(shù)學(xué)家發(fā)展的不變量理論，愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論和引力理論就不可能有如此完善的數(shù)學(xué)表述。在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛(ài)因斯坦終于導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力場(chǎng)方程，在該文中他說(shuō)：“由于這組方程，廣義相對(duì)論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成！”廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)表達(dá)第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最偉大的例子之一?！? 整個(gè)電磁場(chǎng)的理論是由馬克斯威爾方程組表述的，但是“雖然場(chǎng)的理論起源應(yīng)歸功于英國(guó)物理學(xué)家法拉第，但法拉第不是數(shù)學(xué)家，他沒(méi)能發(fā)展這個(gè)概念。在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的發(fā)展研制中數(shù)學(xué)家起了決定性的作用。1935年前后，圖靈建立了通用計(jì)算機(jī)的抽象模型。數(shù)學(xué)家納維于1948年出版的《控制論》一書(shū)宣告了控制論這門(mén)學(xué)科的誕生?！鳖?lèi)似的例子還有許多，我們不再舉了，我們真正要討論的問(wèn)題，是從這些事實(shí)中我們得到什么樣的啟示。應(yīng)用數(shù)學(xué)家去解決各種實(shí)際問(wèn)題時(shí)，在觀念上不可有單打獨(dú)斗的想法，一定要與相應(yīng)領(lǐng)域的專(zhuān)家緊密合作。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)為組織和構(gòu)造知識(shí)提供方法。但是，50年前數(shù)學(xué)雖然也直接為工程技術(shù)提供一些工具，但基本上是間接的：先促進(jìn)其他科學(xué)的發(fā)展，再由這些科學(xué)提供工程原理和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)?？梢韵胂蟋F(xiàn)在計(jì)算機(jī)能完成的工作和50年前相比簡(jiǎn)直是不可同日而語(yǔ)?！皵?shù)學(xué)建模和與之相伴的計(jì)算正在成為工程設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵工具?！碑?dāng)然也有不同認(rèn)識(shí)，也有人認(rèn)為不需要懂得很多數(shù)學(xué)，只要會(huì)用軟件就行了。 有人認(rèn)為，能夠馬上拿來(lái)就用的數(shù)學(xué)一定是相當(dāng)成熟的成果。甚至醫(yī)生在做手術(shù)之前都可以先進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬以預(yù)知各種方案可能出現(xiàn)的后果，再依據(jù)個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)來(lái)選擇手術(shù)方案。1984年，美國(guó)國(guó)家安全局局長(zhǎng)曾說(shuō)過(guò)，美國(guó)國(guó)家安全局是美國(guó)數(shù)學(xué)界最大的雇主，它雇用了2000多位具有博士等學(xué)位的數(shù)學(xué)家。 上個(gè)世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展特點(diǎn)，除了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展規(guī)律外，更多地受到其他相關(guān)學(xué)科發(fā)展過(guò)程中提出的數(shù)學(xué)課題的推動(dòng)。這些問(wèn)題既涉及重大的應(yīng)用問(wèn)題，也包括純粹數(shù)學(xué)(目前不一定馬上就能看到應(yīng)用的問(wèn)題)中的一些大題目。但是，這樣的學(xué)生很難做出創(chuàng)新。誠(chéng)然，我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起步是比較晚的，數(shù)學(xué)教育上也是先學(xué)西方后學(xué)蘇聯(lián)(學(xué)到手后就不再改進(jìn))的模式，而且長(zhǎng)期不能擺脫其影響。2002年已經(jīng)有30個(gè)省、市、自治區(qū)及香港的572所院校4448隊(duì)參賽，已經(jīng)發(fā)展成為全國(guó)高校規(guī)模最大的大學(xué)生課外科技活動(dòng)。競(jìng)賽正在向研究生層次發(fā)展，即將舉辦研究生建模競(jìng)賽，從而推動(dòng)研究生的數(shù)學(xué)教育改革。 數(shù)學(xué)建模不僅僅是一項(xiàng)競(jìng)賽。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計(jì)算機(jī)方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文（即答卷）。 為什么這樣的單項(xiàng)競(jìng)賽能夠產(chǎn)生如此的吸引力呢？開(kāi)展這項(xiàng)競(jìng)賽并開(kāi)設(shè)相關(guān)的課程，對(duì)高等院校的教學(xué)工作會(huì)起什么樣的作用？對(duì)大學(xué)生全面素質(zhì)的提高又有什么樣的幫助？對(duì)記者的問(wèn)題，葉其孝教授回答說(shuō)，這種競(jìng)賽對(duì)參加者來(lái)說(shuō)，是一種綜合的訓(xùn)練，在相當(dāng)程度上模擬了大學(xué)生畢業(yè)以后的工作環(huán)境。它還可以培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)強(qiáng)的意志，培養(yǎng)自律、“慎獨(dú)”的優(yōu)秀品質(zhì)，培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀。 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽以通訊形式進(jìn)行，三名大學(xué)生組成一隊(duì)，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計(jì)算機(jī)和任何軟件，甚至上網(wǎng)查詢(xún)，但不得與隊(duì)外任何人討論。很多人都知道，數(shù)學(xué)是非常重要的。數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)是題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化加工而成，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要求不深，一般沒(méi)有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供學(xué)生發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。 很多象牛頓一樣偉大的科學(xué)家都是建立和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的大師，他們將各個(gè)不同的科學(xué)領(lǐng)域同數(shù)學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，在不同的學(xué)科中取得了巨大的成就。 數(shù)學(xué)建模課程可以培養(yǎng)和提高學(xué)生下列能力： （1）洞察能力。這正是數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的體現(xiàn)，這就是培養(yǎng)學(xué)生有廣泛的興趣，多思考，勤奮踏實(shí)地工作，通過(guò)熟能生巧達(dá)到觸類(lèi)旁通的境界； （5）各種當(dāng)代科技最新成果的使用能力。 盡管數(shù)學(xué)建模已有了很久的歷史，數(shù)學(xué)建模課程卻還是很年輕的一門(mén)課程。現(xiàn)在已經(jīng)有很多苗頭，光靠西方的演繹或者是還原論的東西解決不了問(wèn)題，說(shuō)不定要借助于東方的文化，正象萊布尼茲借助于中國(guó)的哲學(xué)一樣，還有控制論、系統(tǒng)論是借助于中國(guó)的思維。 數(shù)學(xué)在你身邊。這里有什么規(guī)律嗎。數(shù)學(xué)模型當(dāng)然更抽象些，它是由數(shù)字、字母和數(shù)學(xué)符號(hào)組成的、描述研究對(duì)象數(shù)量規(guī)律的公式、圖表或者程序。六、如何認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)” 看到“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”幾個(gè)字人們會(huì)問(wèn)：做數(shù)學(xué)題不是靠一張紙、一支筆就行了嗎？怎么像物理、化學(xué)一樣要做實(shí)驗(yàn)了呢？這是計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件引入教學(xué)后出現(xiàn)的新事物，是數(shù)學(xué)教學(xué)體系、內(nèi)容和方法改革的一項(xiàng)嘗試。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容側(cè)重于前者，只是在講到每一部分的應(yīng)用時(shí)舉幾個(gè)例子，這對(duì)于后者的訓(xùn)練，特別是綜合應(yīng)用的訓(xùn)練，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。由同學(xué)自己動(dòng)手，用他們熟悉的、喜歡“玩”的計(jì)算機(jī)解決幾個(gè)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生親身感受到用所學(xué)的數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的酸甜苦辣。必須大力提高數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化水準(zhǔn)。14 / 1