【正文】 如下圖所示。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。其設計步驟是：先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)，然后將按某種方法轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。利用模擬濾波器成熟的理論設計IIR數(shù)字濾波器的過程是：(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術指標：通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減。IIR數(shù)字濾波器的設計流程圖如下：數(shù)字濾波器技術指標 模擬濾波器 技術指標 數(shù)字濾波器 模擬濾波器 模擬濾波器 設計方法變換變換圖21 IIR數(shù)字濾波器的設計步驟流程圖成熟的模擬濾波器設計方法主要有脈沖響應不變法和雙線性變換法。圖22 脈沖響應不變法的映射關系由（22）式，數(shù)字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系為 (式23)這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。這時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。脈沖響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應。當然這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數(shù)。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。將式（26）寫成 （式27）將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，則得 （式28）再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面 （式29）從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為：（式210）（式211）式（210）與式（211）是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（26）與式（210）的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。這個關系如式（210）所示，重寫如下： （式215）上式表明，S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關系，如圖24所示。首先，一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖25所示。除具備卓越的數(shù)值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。如果采用雙線性變換法，還需進行預畸變。模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數(shù)有:buttap,cheblap, cheb2ap,ellipap和besselap，這些函數(shù)輸出的是零極點式形式，還要用zp2tf函數(shù)轉換成分子分母多項式形式。脈沖響應不變法適用于采樣頻率大于4倍截止頻率的銳截止低通帶通濾波器，而雙線性變換法適合于相位特性要求不高的各型濾波器。 取N=4（2） 求極點， 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為由N=4直接查表得到：極點： 歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為式中，,（3） 將去歸一化最終得到通過計算可以總結出過程太麻煩，而且容易出錯，結果不直觀。Rp=。W1s=fs/Fs*2。%確定butterworth的最小介數(shù)N和頻率參數(shù)Wn[z,p,k]=buttap(N)。 %用脈沖響應不變法進行模數(shù)變換 sys=tf(bz,az,T)。 %繪制幅頻響應grid on。 ylabel(39。 plot(W,abs(H))。)。運行后的波形如下：圖31 典型濾波器在Matlab上運行波形運行結果：N =4bz = az= 可以得出：只需編程，結果非常直觀。 Rp=。Ws=2/Ts*tan(ws/2)。 %計算模擬濾波器的最小階數(shù) [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)。 %運用雙線性變換法得到數(shù)字濾波器傳遞函數(shù) [H,f]=freqz(bz,az,512,fs)。N=2 頻率響應39。頻率/Hz39。)。 xlabel(39。振幅/H39。在確定零極點位置時要注意：(1)極點必須位于z平面單位圓內，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定；(2)復數(shù)零極點必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實的。Chebyshev I型濾波器的下降斜度比II型大，但其代價目是通帶內波紋較大。設計橢圓濾波器用函數(shù)ellip()，與chebyl, cheby2類似，可以設計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器。設計的要求是在通帶內的衰減不超過Rp,在阻帶內的衰減不小于Rs，通帶和阻帶有截止頻率分別是Wp, Ws,它們是歸一化的頻率，范圍是[0, 1]，對應π弧度。如果要將歸一化頻率轉換為角頻率，則將歸一化頻率乘以π。它的最大值是采樣頻率的一半。Chebyshev I型的M程序如下：Fs=20000。 %歸一化的通帶截止頻率Ws=2*Fls/Fs。 %返回最小階數(shù)和截止頻率[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn)。grid on。ylabel(39。)。xlabel(39。幅度（H）39。 Fls=8000。 %通帶最大衰減（單位：dB）Rs=30。subplot(2,1,1)。ω/π39。)title(39。plot(w/pi,abs(hw))。)。運行后的波形：圖34 Chebyshev II型運行波形運行結果：N=2b= a= 從頻率響應圖中可以看出:巴特沃斯濾波器具有單調下降的幅頻特性，通帶內平滑。這樣根據(jù)不同的要求可以選用不同類波器。它操作簡單，方便靈活。Design Filter部分主要分為：Filter Type(濾波器類型)選項，包括Lowpass(低通)、Highpass(高通)、Bandpass(帶通)、Bandstop(帶阻)和特殊的 FIR濾波器。在Specify Order中填入所要設計的濾波器的階數(shù)(N階濾波器，Specify Order=N1)。例如Bandpass(帶通)濾波器需要定義Fstop1(下阻帶截止頻率)、Fpass1(通帶下限截止頻率)、Fpass2 (通帶上限截止頻率)、Fstop2(上阻帶截止頻率)，而Lowpass(低通)濾波器只需要定義FstopFpass1。當采用窗函數(shù)設計時，通帶截止頻率處的幅值衰減固定為6db，所以不必定義。而利用MATLAB 強大的信號處理界面工具進行計算機輔助設計，可以快速有效地設計數(shù)字濾波器，大大地簡化了計算量。 設置完成后點擊Design Filter 即可得到所設計的IIR 濾波器。第五節(jié) SIMULINK 仿真IIR濾波器SIMULINK是一個進行動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成軟件包。 下面就來仿真 節(jié)中信號處理的模型，以框圖的方式直觀地現(xiàn)實信號處理的過程，信號源為 f= sin(2*pi*t*40)+sin(3*pi*t*50)+sin(2*pi*t*100)，在 DSP 離散信號模塊中設定參數(shù)分別為 40HZ，75HZ，100HZ,在 simulink 環(huán)境中，將 濾波器文件載 入 FDATOOL 中，生成仿真框圖和濾波效果如圖所示。其中對雙線性變換法，巴特沃斯設計模擬濾波器的運用，也更加清楚了。他嚴肅的科學態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W精神，精益求精的工作作風，深深地感染和激勵著我。特別感謝我的同學，她們對本課題做了不少工作，給予我不少的幫助。它需要反復的實驗，而且需要設計者憑借經驗設定參數(shù)，平時所要設計的數(shù)字濾波器，階數(shù)和類型并不一定是完全給定的，很多時候要根據(jù)設計要求和濾波效果不斷地調整，以達到設計的最優(yōu)化。 ３２