【正文】 . ∴∠ NOH=180176。. ∵ BC∥ DE,∴∠ BDE=∠ CBD=20176。, ∵ OD=OA=1=DH, ∴∠ ODH=180176。, ∴∠ OAD=∠ ODA=∠ ADB(∠ ODH+x) =60176。2(40176。. PCPB CDBF3解后反思 本題考查圓的有關性質、等腰三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、平 行四邊形的判定與性質、解直角三角形等基礎知識 ,考查運算能力、推理能力、空間觀念與 幾何直觀 ,考查化歸與轉化思想 . 10.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=BC,∠ B=∠ D,AD? 于 BC,過點 C作 CE∥ AD交△ ABC的外接圓 O于點 E,連接 AE. (1)求證 :四邊形 AECD為平行四邊形 。(2)作 OM⊥ CE,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N,由已知及 (1) 得出 CE=BC,再根據(jù)“同一個圓內等弦對應的弦心距相等”可得 OM=ON,從而由角平分線的 判定定理可得結論 . 解題關鍵 抓住“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等及同圓內等弦對應的弦心距相 等”是解決本題的關鍵 . 1.(2022福建 ,9,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,BC與☉ O相切于點 B,AC交☉ O于點 ∠ ACB=50176。 176?？傻? ∠ BAC=40176。,則 ∠ ADB的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 答案 B ∵ AE是☉ O的切線 ,∴∠ BAE=90176。,故 選 B. 124.(2022江蘇南京 ,6,2分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=4,AD=5,AD、 AB、 BC分別與☉ O相切于 E、 F、 G三點 ,過點 D作☉ O的切線交 BC于點 M,切點為 N,則 DM的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? ? ? 133 92 4313 5答案 A 在矩形 ABCD中 ,☉ O分別與邊 AD、 AB、 BC相切 ,又 DM為☉ O的切線 ,所以由切線 長定理得 AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知 BG=2,DN=3,設 MN=MG=x,在 Rt△ DCM中 , DM2=MC2+DC2,即 (3+x)2=(3x)2+42,解得 x=? ,則 DM=3+? =? .故選 A. 43 43 1335.(2022天津 ,7,3分 )如圖 ,AB是☉ O的弦 ,AC是☉ O的切線 ,A為切點 ,BC經(jīng)過圓心 ,若 ∠ B=25176。 176。∠ AOC =40176。,又 ∵ OB∥ AC,∴∠ A=120176。120176。. (1)如圖① ,若 D為 ? 的中點 ,求 ∠ ABC和 ∠ ABD的大小 。, ∴∠ ABC=90176。. ∴∠ ABD=∠ ACD=45176。. ∵∠ AOD是△ ODP的外角 , ∴∠ AOD=∠ ODP+∠ P=128176。38176。AC。,∴∠ DOA=60176。, ∴ CH=AC=3, ∴ S△ ACH=? 3? ? =? . BD︵393? 3312332 93411.(2022廣西南寧 ,23,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。.? (6分 ) 又 ∵∠ C=∠ ODC=90176。.連接 BD39。交 BC于點 E,連接 OD,OB,OC,∵ D為 AB的中點 ,∴ OD⊥ AB,∵ AB=4,∴ BD=? AB=2,∵ OB=? ,∴ OD=? = 1,∴ BD39。=90176。,∴∠ D39。=45176。39。,∵ OA=OB,∴ △ OAB是等邊三角形 ,∴ AB=5.∵ PB=AB=OA=OP,∴ OB ⊥ AP,∴ AP=2AB,∴∠ BAD+∠ B=90176。 176。,∴∠ ADC=? ∠ AOC= 50176。=130176。. 連接 OA、 OC,則 ∠ AOC=2∠ D=90176。.∵ OB=? , ∴ BD=OBcos∠ BOD=? OD=? ? ? =? , ∴ △ ABC的面積 =3S△ BOC=3? =? .故選 C. 21222 622 22612 126 22 3232 332評析 本題考查三角形的外接圓與外心 ,屬容易題 . 8.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,16,3分 )如圖 ,△ ABC內接于半徑為 5的☉ O,圓心 O到弦 BC的距離等于 3,則 ∠ A 的正切值等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 35 45 34 43答案 D 連接 CO并延長交☉ O于點 D,則 CD為☉ O的直徑 ,連接 BD,作 OE⊥ BC交 BC于點 E, 依題意可得 BD=2OE=6, 又 CD=25=10, ? 所以 BC=? =8, 所以 tan D=? =? =? . 又因為 ∠ A=∠ D, 所以 tan A=? ,故選 D. 22CD BD?BCBD 86 4343評析 本題綜合考查圓周角定理 ,垂徑定理 ,解直角三角形等有關知識 ,屬中等難度題 . 9.(2022北京 ,12,2分 )如圖 ,點 A,B,C,D在☉ O上 ,?=?, ∠ CAD=30176。.又 ∵∠ BDC=∠ BAC=30176。30176。,則 ∠ CAD= 176。40176。. ? AD︵ CD︵1212.(2022山東青島 ,11,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上的兩點 ,若 ∠ BCD=28176。, ∴∠ ACD=90176。. 13.(2022湖南長沙 ,16,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,弦 AB=6,圓心 O到 AB的距離 OC=2,則☉ O的半徑長為 . ? 答案 ? 13解析 由題意得 OC⊥ AB,∴ AC=BC=? AB=3,在 Rt△ OCA中 ,OA=? =? =? .∴ ☉ O的半徑長為 ? . 1222OC AC? 2223? 1313評析 本題考查了垂徑定理、勾股定理 ,屬容易題 . 14.(2022江蘇南京 ,13,2分 )如圖 ,扇形 AOB的圓心角為 122176。, ∵∠ ACB+∠ D=180176。=60176。,∠ B=30176。,所以 ∠ DOB=180176。, 所以 ∠ ADC=∠ B+∠ DOB=30176。,且 BE=2,則 CD= . ? 答案 4? 3解析 連接 OD,則 OA=OD,所以 ∠ ODA=∠ OAD=30176。,則 ∠ DOE= 176。,所以 ∠ ADO+∠ AEO=(180176。.在四邊形 ADOE中 ,∠ DOE=360176。 (2)當△ OCD是直角三角形時 ,求 B、 C兩點的距離 。時 ,△ BOC是等腰直角三角形 ,此時 BC=? OC=? . 32 2? (3)∵ AB=AC,∴ O到弦 AB,AC的距離相等 , ∴ S1∶ S2∶ S3=AB∶ AD∶ DC. 由題意知 S1 (2)若 AB=4,BC=2? ,求 CD的長 . ? 3解析 (1)證明 :∵ ED=EC, ∴∠ CDE=∠ C, 又 ∵ 四邊形 ABED是☉ O的內接四邊形 , ∴∠ CDE=∠ B,∴∠ B=∠ C, ∴ AB=AC.? (4分 ) (2)連接 AE,則 AE⊥ BC, ? ∴ BE=EC=? BC, 在△ ABC與△ EDC中 ,∵∠ C=∠ C,∠ CDE=∠ B, ∴ △ ABC∽ △ EDC,? (6分 ) 12∴ ? =? ,得 DC=? =? , 由 AB=4,BC=2? ,得 DC=? =? .? (8分 ) ABDEBCDC BC DEAB? 22BCAB3 2( 2 3 )24? 32評析 本題考查圓內接四邊形的性質 ,三角形相似的判定與性質 .屬中檔題 . 24.(2022福建福州 ,24,12分 )如圖 ,正方形 ABCD內接于☉ O,M為 ? 中點 ,連接 BM,CM. (1)求證 :BM=CM。,點 P在 BC上 ,點 Q在☉ O上 ,且 OP ⊥ PQ. (1)如圖 1,當 PQ∥ AB時 ,求 PQ長 。=? .? (3分 ) 如圖 ,連接 OQ,在 Rt△ OPQ中 , ? PQ=? =? =? .? (5分 ) (2)∵ PQ2=OQ2OP2=9OP2, ∴ 當 OP最小時 ,PQ最大 .此時 ,OP⊥ BC.? (7分 ) OP=OB,以點 A為圓心 ,以 3 cm為半徑作☉ A, 當 AB= cm時 ,BC與☉ A相切 . 考點二 與圓有關的位置關系 答案 6 解析 作 AD⊥ BC于點 BC與☉ A相切時 ,AD=3 cm. 在 Rt△ ABD中 ,AD=3 cm,∠ B=30176。 (2)連接 MD,求證 :MD=NB. ? 解析 (1)連接 ON,則 OC=ON. ∴∠ DCB=∠ ONC. ∵ 在 Rt△ ABC中 ,D為斜邊 AB的中點 , ∴ CD=DB, ∴∠ DCB=∠ B, ∴∠ ONC=∠ B, ∴ ON∥ AB.? (2分 ) ∵ NE是☉ O的切線 , ∴ NE⊥ ON, ∴ NE⊥ AB.? (4分 ) (2)連接 ND,則 ∠ CND=∠ CMD=90176。,進而判斷四邊形 CMDN為矩 形 ,得出 MD=CN,然后根據(jù)等腰三角形三線合一推出 CN=NB,從而得到結論 . 解題技巧 針對含有切線的解答題 ,首先要想到的是作“輔助線” ,由此獲得更多能夠證明題 目要求的條件 .一般作“輔助線”的方法為“見切點 ,連圓心” ,從而構造直角 (垂直 ),然后利用 切線性質及其他幾何知識進行證明或計算 . 5.(2022江西 ,20,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,O為 AC上一點 ,以點 O為圓心 ,OC為半徑作圓 ,與 BC相切 于點 C,過點 A作 AD⊥ BO交 BO的延長線于點 D,且 ∠ AOD=∠ BAD. (1)求證 :AB為☉ O的切線 。. ∵∠ AOD=∠ BOC,∴∠ CBD=∠ OAD. ∵∠ D=90176。OE=? BO及 ∠ AOD=∠ BOC求得 ∠ CBD=∠ OAD, 再由 ∠ AOD=∠ BAD推出 ∠ ABD=∠ OAD,進而得到 ∠ ABD=∠ CBO,繼而證明 OE=OC,最后得證 AB為☉ O的切線 。, ∵∠ ADE=25176。50176。, ∴ 3∠ C=90176。 (2)連接 AD,BC,若 ∠ DAB=50176。, ∴∠ ADC=110176。sin 60176。, ∴∠ PDC=30176。 (2)若 AC=2CD,設☉ O的半徑為 r,求 BD的長度 . ? 解析 (1)證明 :連接 OD,∵ AG是 ∠ HAF的平分線 ,∴∠ CAD=∠ BAD, ∵ OA=OD,∴∠ OAD=∠ ODA,∴∠ CAD=∠ ODA,∴ OD∥ AC, ∵∠ ACD=90176。, 得△ ACD∽ △ ADE,∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ a=? r, 由 (1)知 ,OD∥ AC,∴ ? =? ,即 ? =? , ∵ a=? r,∴ BD=? r.? (10分 ) ADAE ACAD 52 ar 25aa 45BDBC ODAC BDBD a? 2ra45 43思路分析 (1)連接 OD,利用平行線的判定以及等腰三角形的性質證明 OD∥ AC,從而證明直 線 BC是圓 O的切線 。, ∵ OA=OC, ∴∠ OAC=∠ OCA. ∵ AC平分 ∠ BAD, ∴∠ OAC=∠ DAC, ∴∠ OCA=∠ DAC,? (3分 ) ∴ OC∥ AD, ∴∠ D=∠ OCE=90176。, ∴∠ D=90176。,即 OC⊥ BF,FH=DC=4,? (6分 ) ∴ FB=2FH=8.? (7分 ) 在 Rt△ BFA中 ,∠ AFB=90176。,進而證得 AD⊥ ED。. ∴∠ OBA+∠ EBD=∠ A+∠ AEC=90176。, ∴∠ COD=90176。, ∴∠ ODA=? =176。. 又 ∵ OD是半徑 ,∴ PD是☉ O的切線 . 12解題思路 (1)連接 OC,OD,由圓周角定理可得 ∠ COD=90176。.由 AD= AP,∠ CAD=∠ ADP+∠ APD得 ∠ ADP=176。 (2)當 BQ=4? 時 ,求優(yōu)弧 ? 的長 (結果保留 π)。.? (5分 ) ∵ OQ=8cos 60176。(3)△ APO的外心是 OA的中點 ,OA=8,從而可由△ APO的外心在扇形 COD的 內部求出 OC的取值范圍 . 3QD︵解題技巧 遇到含有切線的解答題 ,首先要想到的是作輔助線 ,由此獲得更多能夠證明題目要 求的條件 .一般作輔助線的方法為“見切點 ,連圓心” ,從而構造直角三角形 (垂直 )進行證明或 計算 . 13.(2022山西 ,21,7分 )如圖 ,△ ABC內接于☉ O,且 AB為☉ O的直徑 .OD⊥ AB,與 AC交于點 E,與過 點 C的☉ O的切線交于點 D. (1)若 AC=4,BC=2,求 OE的長 。,∴∠ 2+∠ CDE=90176。, ∴∠ A+∠ 3=90176。2(90176。通過勾股定理建立方程 。 ②由 ∠ ACD=? ∠ AOD=30176。角的直角三角形 ,可求 DE,DF的長 ,進而可求四邊形 ACDE的面積 . ? 1215.(2022陜西 ,23,8分 )如圖 ,已知 :AB是☉