【正文】 (3)設(shè) CE=a(a0), ∵ EN⊥ CD, ∴∠ CEN=90176。, ∴∠ EDN=∠ DAE, ∵∠ DEN=∠ ADE=90176。CN. 1 0 22? 1 0 22?思路分析 (1)先判斷出 OD=OA,∠ AOM=∠ DON,再利用同角的余角相等判斷出 ∠ ODN=∠ OAM,即可證得△ DON≌ △ AOM,進而得出結(jié)論 . (2)先判斷出四邊形 DENM是菱形 ,進而判斷出 ∠ BDN=176。,延長 QC39。,∠ APB+∠ CBQ=90176。=BC=3,∠ BQC=∠ BQC39。中 ,(y+m+n)2=(y+n)2+(m+n)2,∴ y=? ,即 AM的長為 ? . ,P A B Q B CA B B CA B P C? ? ?????? ? ? ??134 13422nm22nmB組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 矩形 1.(2022山東臨沂 ,12,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD為平行四邊形 ,延長 AD到 E,使 DE=AD,連接 EB,EC, ,不能 使四邊形 DBCE成為矩形的是 ? ( ) ? =BE ⊥ DC C.∠ ADB=90176。, 則平行四邊形 DBCE是矩形 . 當(dāng) BE⊥ DC時 ,平行四邊形 DBCE是菱形 .故選 B. 2.(2022四川成都 ,14,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,按以下步驟作圖 :① 分別以點 A和 C為圓心 ,以大 于 ? AC的長為半徑作弧 ,兩弧相交于點 M和 N。. ∵ EF⊥ EC, ∴∠ FEC=90176。a因為 CD∥ AB,所以 ∠ 2=∠ DCA,再由 ∠ 1=∠ 2,可得 ∠ 1=∠ DCA,所以 AD=CD,由一組鄰邊相等的平行四邊 形是菱形 ,得 ?ABCD是菱形 ,D正確 .故選 C. 3.(2022福建龍巖 ,10,4分 )如圖 ,菱形 ABCD的周長為 16,∠ ABC=120176。sin 60176。,同理可得 AF=2? ,∠ CAF=30176。sin 60176。③ S△ ADF=2S△ CEF。 ∵ ? =2,∴ ? =2, ∴ S△ ADF=2S△ CDF,④ 正確 .故選 C. AFCF ADCE BCCE AFDCFESS 2AFCF??????AFFC ADFCDFSS2.(2022陜西 ,9,3分 )在 ?ABCD中 ,AB=10,BC=14,E、 F分別為邊 BC、 AD上的點 .若四邊形 AECF 為正方形 ,則 AE的長為 ? ( ) 10 9 8 答案 D 如圖 ,設(shè) AE=x,則 BE=14x,在 Rt△ AEB中 ,x2+(14x)2=102,整理得 x214x+48=0,解得 x1=6, x2= D. ? 評析 本題考查了平行四邊形的性質(zhì) ,正方形的性質(zhì) ,勾股定理 ,關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得到關(guān)于 AE的方程 . 3.(2022湖北黃岡 ,12,3分 )已知 :如圖 ,在正方形 ABCD的外側(cè) ,作等邊三角形 ADE,則 ∠ BED= 度 . ? 答案 45 解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴ AB=AD,∠ BAD=90176。=150176。, ∴∠ BED=∠ AED∠ AEB=60176。,∠ CPD=50176。 D.(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180176。θ1, 又 ∵ 在△ CDP中 ,∠ DCP=180176。, ∴ θ2+80176。,故選 A. 2.(2022浙江杭州 ,16,4分 )折疊矩形紙片 ABCD時 ,發(fā)現(xiàn)可以進行如下操作 :① 把△ ADE翻折 ,點 A 落在 DC邊上的點 F處 ,折痕為 DE,點 E在 AB邊上 。,若點 A39。作 OB的垂線交 OB于 F,交 AC于 E,如圖 1所示 : ? 圖 1 ① 當(dāng) A39。F=OA=4,∴ A39。F中 ,OF=? =? =? ,∴ A39。(? ,1). 2239。在第四象限 ,過 A39。F∶ EF=1∶ 2,∴ A39。(2? ,2). 綜上 ,點 A39。的位置 ,學(xué)生往往只畫出點 A39。的長是定值 ,且有 A39。C的長最小 . ∵ E為 AB的中點 ,AB=2,∴ BE=1. 在 Rt△ CBE中 ,CE=? =? =? . ∵ A39。在 CE上時 ,A39。的位置是解題的關(guān)鍵 . 5.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,20,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,∠ BAD的平分線交 BC于點 E,交 DC的延長線 于點 F,取 EF的中點 G,連接 CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論 : ? ① BE=CD。,AE平分 ∠ BAD,所以 ∠ BAE=∠ DAF=∠ F=45176。,又因為 DF=BC,所以△ DGF≌ △ BGC(SAS),所以 ∠ GDF=∠ ∠ DBC+∠ BDC=90176。,所以 ∠ ABG+∠ ADG=180176。sin 45176。G=? =? , ∴ BD39。B=5? 4? =? , 作 D39。E=x,EH=3x, 在 Rt△ EHD39。E=? , 第二種情況 :如圖② , ? 圖② 2 2 253 53作 D39。. ∵ 矩形 ADEF是由矩形 AOBC旋轉(zhuǎn)得到的 , ∴ AD=AO=5. 在 Rt△ ADC中 ,有 AD2=AC2+DC2, ∴ DC=? =? =4. ∴ BD=BCDC=1. ∴ 點 D的坐標(biāo)為 (1,3). (2)① 證明 :由四邊形 ADEF是矩形 ,得 ∠ ADE=90176。② 由①知 ∠ BAD=∠ BAO,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得 ∠ CBA=∠ OAB,從而 ∠ BAD=∠ CBA,故 BH=AH,在 Rt△ ACH 中 ,運用勾股定理可求得 AH的長 ,得出 H點的坐標(biāo) .(3)在矩形旋轉(zhuǎn)的過程中 ,根據(jù)點 K與直線 DE 的距離范圍即可確定 S的取值范圍 . 提示 如圖 1,當(dāng)矩形頂點 D在線段 AB上時 ,點 K到直線 DE的距離最小 ,最小值為線段 DK的長 , DK=AD? AB=5? , S=? DK (3)如圖③ ,在 (2)的條件下 ,連接 EP并延長交 AB的延長線于點 F,連接 ,△ PFB能 否由都經(jīng)過 P點的兩次變換與△ PAE組成一個等腰三角形 ?如果能 ,說明理由 ,并寫出兩種方法 (指出對稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角或平移方向和平移距離 )。60176。60176。,∴∠ AEP=180176。 ②△ PFB以點 P為旋轉(zhuǎn)中心 ,順時針旋轉(zhuǎn) 120176。的延長線交邊 AB于點 M,過點 B作 BN∥ MP交 DC于點 N. (1)求證 :AD2=DP, ∴∠ DAP+∠ APD=90176。CB=DP, ∴∠ PAM+∠ PBA=90176。PC得 PC=4a, ∴ DC=AB=5a,? (8分 ) ∴ MA=MB=? . ∵ CD∥ AB, ∴∠ CPF=∠ ABF,∠ PCF=∠ BAF, ∴ △ PFC∽ △ BFA, ∴ ? =? =? =? ,? (9分 ) ∵ FG∥ PM, 52aPFBF CPAB 45 aa 45∴ ? =? =? ,? (10分 ) ∴ ? =? , ∵ AM=MB,∴ ? =? , ∵ FG∥ PM,∴ ? =? =? .? (12分 ) MGBG PFBF 45MGMB49MGAM 49EFAE MGAM 49思路分析 (1)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及所給條件 ,證明△ ADP∽ △ PCB,從而得 AD2=DP (2)若 AB=6,∠ COD=60176。CD=6? 6=36? .? (8分 ) 2212 6? 33 3思路分析 (1)證△ AOE≌ △ COF,可得 AE=CF。, ∴ DC=AB=6,∴ AC=? =10. 要使△ PCD是等腰三角形 ,有如下三種情況 : ① 當(dāng) CP=CD時 ,CP=6,∴ AP=ACCP=4. ② 當(dāng) PD=PC時 ,∠ PDC=∠ PCD, ∵∠ PCD+∠ PAD=∠ PDC+∠ PDA=90176。, 即 ∠ ADP+∠ PDC=∠ PDC+∠ CDF, ∴∠ ADP=∠ CDF. 365145145∵∠ BCD=90176。,即 ∠ PCD+∠ FCD=90176。, ∴∠ CDF=∠ ADP,∴ △ CDF∽ △ ADP. ∴ ? =? ,∴ ? =? , ∴ CF=? . CFAP DCAD2CF6832412.(2022浙江臺州 ,19,8分 )如圖 ,點 P在矩形 ABCD的對角線 AC上 ,且不與點 A,C重合 ,過點 P分別 作邊 AB,AD的平行線 ,交兩組對邊于點 E,F和點 G,H. (1)求證 :△ PHC≌ △ CFP。 (3)當(dāng)射線 BN交線段 CD于點 F時 ,求 DF的最大值 . ? 解析 (1)由折疊可知△ ANM≌ △ ADM, ∴∠ MAN=∠ DAM. ∵ AN平分 ∠ MAB, ∴∠ MAN=∠ NAB, ∴∠ DAM=∠ MAN=∠ NAB. ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴∠ DAB=90176。NQ=? . (3)如圖 ,過點 A作 AH⊥ BF于點 H,則△ ABH∽ △ BFC. ? ∴ ? =? . ∵ AH≤ AN=3,AB=4, ∴ 當(dāng)點 N,H重合 (即 AH=AN)時 ,DF最大 . 45 45 12 245BHAH CFBC(AH最大 ,BH最小 ,CF最小 ,DF最大 ) 此時點 M,F重合 ,B,N,M三點共線 ,△ ABH≌ △ BFC(如圖 ). ? ∴ CF=BH=? =? =? , ∴ DF的最大值為 4? . 22AB AH? 2243? 7714.(2022吉林長春 ,22,9分 )在矩形 ABCD中 ,已知 AD AD上取點 E,使 AE=AB,連接 點 E作 EF⊥ CE,與邊 AB或其延長線交于點 F. 猜想 :如圖① ,當(dāng)點 F在邊 AB上時 ,線段 AF與 DE的大小關(guān)系為 . 探究 :如圖② ,當(dāng)點 F在邊 AB的延長線上時 ,EF與邊 BC交于點 AF與 DE的大小關(guān)系 , 并加以證明 . 應(yīng)用 :如圖② ,若 AB=2,AD=5,利用探究得到的結(jié)論 ,求線段 BG的長 . ? 解析 猜想 :AF=DE.? (2分 ) 探究 :AF=DE. 證明 :∵ EF⊥ CE,∴∠ CEF=90176。.∴∠ 1=∠ 3. ∵ AE=AB,∴ AE=DC.∴ △ AEF≌ △ DCE.∴ AF=DE.? (6分 ) 應(yīng)用 :∵ AF=DE=ADAE=52=3,∴ BF=AFAB=32=1. 在矩形 ABCD中 ,AD∥ BC,∴ △ FBG∽ △ FAE. ∴ ? =? ,即 ? =? .∴ BG=? .? (9分 ) BGAE FBFA 2BG 13 2315.(2022北京 ,22,5分 )在 ?ABCD中 ,過點 D作 DE⊥ AB于點 E,點 F在邊 CD上 ,DF=BE,連接 AF,BF. (1)求證 :四邊形 BFDE是矩形 。 (2)∠ EFG=∠ EGF. ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ? ∴ AB=DC,∠ BAD=∠ CDA=90176。例如 ,當(dāng) E,F,G,H不是各邊中點 ,且 ? = ? =? =? =? ,BD=2AC時 ,由上述可知四邊形 EFGH為平行四邊形 ,所以 ? =? =? ,? = ? =? ,即 ? =? ,所以 ? =? ,即 EF=EH,所以四邊形 EFGH為菱形 ,選項 D錯誤 .綜上 , 選 D. 121212 12DHAD DGDCBEAB BFBC DHAD GHCA BEBA EFACDHADDGDC BEAB BFBC 23BEAB EFAC 23AEABEHBD 13EFAC 2 EHBD 2EFAC EHBD2.(2022河北 ,9,3分 )求證 :菱形的兩條對角線互相垂直 . 已知 :如圖 ,四邊形 ABCD是菱形 ,對角線 AC,BD交于點 O. 求證 :AC⊥ BD. 以下是排亂的證明過程 : ① 又 BO=DO, ② ∴ AO⊥ BD,即 AC⊥ BD. ③ ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ④ ∴ AB=AD. ? 證明步驟正確的順序是 ? ( ) A.③ → ② → ① → ④ B.③ → ④ → ① → ② C.① → ② → ④ → ③ D.① → ④ → ③ → ② 答案 B 證明 :∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,∴ AB=AD, 又 BO=DO, ∴ AO⊥ BD,即 AC⊥ BD. 所以證明步驟正確的順序是③ → ④ → ① → ② ,故選 B. 3.(2022廣西南寧 ,16,3分 )如圖 ,菱形 ABCD的對角線相交于點 O,AC=2,BD=2? ,將菱形按如圖 方式折疊 ,使點 B與點 O重合 ,折痕為 EF,則五邊形 AEFCD的周長為 . ? 3答案 7 解析 ∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,∴ OA=OC=? AC=1,OD=OB=? BD=? ,AC⊥ BD,∴ AD= ? =2,tan∠ ADO=? =? ,∴∠ ADO=30176。30176。BD, ∴ DH=? =? =? .