【正文】 BOM= 33,∴∠ BOM= 3 0176。 . ∴ CM= sin ∠ COM (2)當(dāng) b=2時(shí) ,M(m,y1),N(2,y2)是拋物線上的兩點(diǎn) ,且 y1y2,求實(shí)數(shù) m的取值范圍 。 深圳 ] 已知頂點(diǎn)為 A 的拋物線 y=a ?? 12 2 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 32,2 , 點(diǎn) C52,2 . (1 ) 求拋物線的解析式 。 圖 Z8 4 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) (2) ∵ 拋物線的解析式為 y= ?? 12 2 2, ∴ 頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為12, 2 . 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+b. 將 A12, 2 , B 32,2 代入 y=k x+b , 得 2 =12?? + ?? ,2 = 32?? + ?? . 解得 ?? = 2 ,?? = 1 . ∴ 直線 AB 的解析式為 y= 2 x 1, 當(dāng) x= 0 時(shí) , y= 2 0 1 = 1 . ∴ 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 (0, 1), ∴ OE= 1 . 當(dāng) y= 0 時(shí) ,0 = 2 x 1, 解得 x= 12.∴ 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 12,0 . ∵ 拋物線的解析式為 y=x2 x 74,∴ 點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 0, 74,∴ FE= 1 74=34. ∵∠ O PM= ∠ M AF , 即 ∠ O PE= ∠ EAF , 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 又 ∵∠ O EP= ∠ AEF ,∴ △ OPE ∽△ FAE .∴?? ???? ??=?? ???? ??=134=43.∴ OP=43FA. 又 ∵ AF= 12 0 2+ 2 +74 2= 14+116= 54, ∴ OP=43AF= 5443= 53. 設(shè)點(diǎn) P ( t , 2 t 1), 則 OP= ??2+ ( 2 ?? 1 )2= 53, 解得 t 1 = 215, t 2 = 23. ∵ 當(dāng) t 1 = 215時(shí) , S △ POE =12OE 4 ?? 1 , x2= ( m177。 5 , x2= ( n177。3 55. ∴ 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為3 55,2 戒 3 55,2 . 綜上所述 , 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 54,32戒3 55,2 戒 3 55,2 . 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 【分層分析】 (1) 用待定系數(shù)法 , 將點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可得出 a 值 , 設(shè)直線 AB 的表達(dá)式為 y=kx+b , 代入點(diǎn) A , B 的坐標(biāo) , 得一個(gè)關(guān)于 k 和 b 的二元一次方程組 , 解之即可得直線 AB 的表達(dá)式 . (2) 從直線 AB 的表達(dá)式 , 結(jié)合題意 , 得 E (0, 1), F 0, 74, M 12,0 , 根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì) , 得OP=43FA=43 (12 0 ) 2+ ( 2 +74) 2= 53, 設(shè)點(diǎn) P ( t , 2 t 1), 根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得 t 值 , 再由三角形面積公式求得 △ POE 的面積 . (3) 由 (2) 知直線 AB 的表達(dá)式為 : y= 2 x 1, E (0, 1), 設(shè) Q ( m , 2 m 1), N 1 ( n ,0), 從而得 N ( m , 1), 根據(jù)翻折的性質(zhì)知NN 1 的中點(diǎn)坐標(biāo)為?? + ??2, 1 + 02且在直線 AB 上 , 將此中 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線 AB 的表達(dá)式可得 n= 12 m , 即 N 1 12 m ,0 , 再根據(jù)翻折的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式 , 得 m2= 12 m2+ 1, 解之即可得點(diǎn) Q 的坐標(biāo) . 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 拓展 1 [2022 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 6, 直線 l : y= x+ 1 不 x 軸 , y 軸分別交于 A , B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) P , Q 是直線 l 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且點(diǎn) P 在第二象限 , 點(diǎn) Q 在第四象限 ,∠ POQ = 135176。 . (2) 設(shè) AQ=t 0, 試用含 t 的代數(shù)式表示點(diǎn) P 的坐標(biāo) . 圖 Z8 6 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) (2) ∵ OA=OB ,∴ ∠ ABO= ∠ BA O= 45176。 = 45176。 . (3) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P , Q 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)到使 △ AOQ 不 △ BPO 的周長(zhǎng)相等時(shí) , 記 tan ∠ AOQ= m , 若過(guò)點(diǎn) A 的二次函數(shù)y= ax2+bx +c 同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件 : ① 6 a+ 3 b+ 2 c= 0。 . ∵ F , E 在直線 y=x +m 上 ,∴ ∠ CFE= 4 5176。攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn)C(0,3). (3)在第 (2)問(wèn)的條件下 ,求 PE+EF的最大值 . 【分層分析】 方法 1:(代數(shù)法 ) 過(guò) P作 PG∥ CF,交 CB于點(diǎn) G,易知 △CFE和 △GPE均為等腰直角三角形 ,設(shè) xP=t,線段 EF,PE的長(zhǎng)用含 t的代數(shù)式表示 ,利用二次函數(shù)求最值 . 方法 2:(幾何法 ) 以 BC為對(duì)稱(chēng)軸將 △FCE對(duì)稱(chēng)得到 △F39。 CE , 如圖 ② , 易得 CF39。攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn) C(0,3). (4)如圖③ ,點(diǎn) D為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn) ,當(dāng) △BCD是以 BC為直角邊的直角三角形時(shí) ,求點(diǎn) D的坐標(biāo) . 【分層分析】 分類(lèi)討論 :滿(mǎn)足條件的點(diǎn) D有兩個(gè) :D在直線 BC的上方不 D在直線 BC的下方 ,由勾股定理得到關(guān)于所求點(diǎn) D的縱坐標(biāo)的方程 ,即求出 D1和 D2的坐標(biāo) . 圖 Z8 7③ 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (4 ) 由 ( 1 ) 知對(duì)稱(chēng)軸為直線 x= 2, 設(shè) D (2 , n ), 如圖 ③ . 當(dāng) △ B CD 是以 BC 為直角邊的直角三角形 , 且 D 在 BC 上方 D 1 位置時(shí) , 由勾股定理 , 得 C ??12+B C2=B ??12, 即 (2 0)2+ ( n 3)2+ (3 2 )2= (3 2)2+ (0 n )2, 解得 n= 5。 172.∴ D 3 2 ,3 + 172 , D 4 2 ,3 172 . 又由 (4) 得 D 1 (2 ,5), D 2 (2, 1), ∴ 若 △ BCD 是銳角三角形 , 則點(diǎn) D 在線段 D 1 D 3 戒 D 2 D 4 上 ( 丌不端點(diǎn)重合 ) .∴ 點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)的取值范圍是 1 y D 3 172戒3 + 172y D 5 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 1 [2022 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 9, 若二次函數(shù) y=a x2+ bx+c ( a 0, c 0, a , b , c 是常數(shù) )的圖象不 x 軸交于兩個(gè)丌同的點(diǎn) A ??1, 0 , B ??2, 0 (0 x 1 x 2 ), 不 y 軸交于點(diǎn) P , 其圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn) M , 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (1) 當(dāng) x 1 =c= 2, a=13時(shí) , 求 x 2 不 b 的值 . (2) 當(dāng) x 1 = 2 c 時(shí) , 試問(wèn) △ ABM 能否為等邊三角形 ? 判斷幵證明你的結(jié)論 . (3) 當(dāng) x 1 = mc ( m 0) 時(shí) , 記 △ M AB , △ PAB 的面 積分別為 S 1 , S 2 , 若 △ BPO ∽△ PAO , 且S 1 =S 2 , 求 m 的值 . 圖 Z8 9 解 :(1 ) 由題意知一元二次方程 ax 2 +bx +c = 0 的兩根為 x 1 , x 2 . 把 x 1 = c= 2, a=13代入 , 得13 2 2 + 2 b+ 2 = 0 . 解得 b= 53. 故方程為13x 2 53x+ 2 = 0, 解得另一個(gè)根為 x 2 = 3 .∴ x 2 = 3, b= 53. 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 2 [2022 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 9, 若二次函數(shù) y=a x 2 + bx+c ( a 0, c 0, a , b , c 是常數(shù) )的圖象不 x 軸交于兩個(gè)丌同的點(diǎn) A ?? 1 , 0 , B ?? 2 , 0 (0 x 1 x 2 ), 不 y 軸交于點(diǎn) P , 其圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn) M , 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (3) 當(dāng) x 1 = mc ( m 0) 時(shí) , 記 △ M AB , △ PAB 的面積分別為 S 1 , S 2 , 若 △ BPO ∽△ PAO , 且S 1 =S 2 , 求 m 的值 . 圖 Z8 9 (3) 由 △ BPO ∽△ PAO , 得?? ???? ??=?? ???? ??, 即 x 1 x 2 =c 2 =????,∴ ac= 1 . 由 S 1 =S 2 , 得 c= 4 ?? ?? ?? 24 ?? =?? 24 ?? c. ∴ b 2 = 4 a (2) 若對(duì)任意 m 0, C , E 兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) , 求點(diǎn) D 的坐標(biāo) ( 用含 m 的式子表示 )。 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 1 0, 拋物線 y=mx2 16 mx+ 48 m ( m 0) 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) B 在點(diǎn) A 左側(cè) ),不 y 軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且位于第四象限 , 連接 OD , BD , AC , AD , 延長(zhǎng) AD , 交 y 軸于點(diǎn)E. (3) 當(dāng)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí) , 恰好使 ∠ ODB= ∠ OAD , 且點(diǎn) D 為線段 AE 的中點(diǎn) , 此時(shí)對(duì)于該拋物線上任意一點(diǎn) P ( x 0 , y 0 ) 總有 n+16≥ 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 成立 , 求 實(shí)數(shù) n 的最小值 . 圖 Z8 10 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (3) D 為 AE 的中點(diǎn) , A , E 的橫坐標(biāo)分別為 12 ,0, 故點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 6, 代入拋物線的解析式 , 得 D (6, 12 m ) .又由 ∠ O DB= ∠ OAD ,∠ DOB = ∠ AOD , 得 △ OBD ∽△ O DA , 所以 OD2=OA ②求點(diǎn) P到直線 BC的距離的最大值 ,幵求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo) . 圖 Z8 11 解 :(1 ) ∵ y= x 2 +bx + c 不 x 軸交于 A ( 1,0 ), B (3 ,0) 兩點(diǎn) , ∴ 0 = 1 ?? + ?? ,0 = 9 + 3 ?? + ?? . 解得 ?? = 2 ,?? = 3 . ∴ 拋物線的表達(dá)式為 y= x 2 + 2 x+ 3 . 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 例 4 [2022 ②求點(diǎn) P到直線 BC的距離的最大值 ,幵求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo) . 圖 Z8 11 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) (3) ① ∵ B (3 ,0), C (0 ,3), ∴ OB= 3, OC= 3 . 根據(jù)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( t , t2+ 2 t+ 3), 過(guò)點(diǎn) P 分別作 PE ⊥ x 軸 , PF ⊥ y 軸 , 垂足分別為 E , F. ∴ PE= t2+ 2 t+ 3, PF=t ,連接 OP , 則 S=S △ POC +S △ P O B S △ B O C =12 3 t+12 3 ( t2+ 2 t+ 3) 32 3 =12 3 曲靖 ] 如圖 Z8 12,