【正文】 體現(xiàn)了組合調(diào)整成本的影響，是BS公式中沒(méi)有的。這是因?yàn)榻M合中可能存在內(nèi)部互相保值的現(xiàn)象而無(wú)需進(jìn)行保值操作，這樣，計(jì)算期權(quán)組合時(shí)需要考慮的交易成本會(huì)相應(yīng)減少，從而使得考慮了交易費(fèi)用之后的單個(gè)期權(quán)價(jià)值之和并不等于整個(gè)組合的價(jià)值。由于是期權(quán)價(jià)格曲線的二次偏導(dǎo)，這意味著對(duì)于期權(quán)的多方來(lái)說(shuō)（無(wú)論是看漲還是看跌期權(quán)），始終存在；相反，期權(quán)的空方。關(guān)于這一點(diǎn)，我們會(huì)在后面進(jìn)一步講解。這實(shí)際上是Leland模型的基本結(jié)論。空頭時(shí)情況正好相反。對(duì)于很小的展開(kāi)上式得： 代入歐式期權(quán)的表達(dá)式可得預(yù)期的交易費(fèi)用為 其中定義同BS公式。由于HWW模型是非線性的，一般情況下，都使用數(shù)值方法為其定價(jià)。這時(shí)相應(yīng)的微分方程擴(kuò)展為 （）注意式（）是非線性的。 Wilmott（1993） A. E. Whalley and P. Wilmott, “Option Pricing with Transaction Costs,” MFG Working Paper,Oxford, 1993.和Henrotte(1993) P. Henrott, “Transaction Costs and Duplication Strategies,” Working Paper, Standford University, 1993.都對(duì)這一情形進(jìn)行了研究。 Wilmott發(fā)現(xiàn)，一個(gè)考慮了和形如（）的交易成本結(jié)構(gòu)的微分方程為 這同樣是一個(gè)依賴(lài)于值的微分方程，是對(duì)BS微分方程的非線性修正。換一個(gè)角度來(lái)看，假如波動(dòng)率是常數(shù)，那么對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)相同的一類(lèi)期權(quán)，無(wú)論其執(zhí)行價(jià)格或到期時(shí)間有多大的差異，從它們的期權(quán)價(jià)格中推導(dǎo)出來(lái)的隱含波動(dòng)率都應(yīng)該是大致相同的，否則就意味著期權(quán)市場(chǎng)存在著套利機(jī)會(huì)。也就是說(shuō)，波動(dòng)率并非常數(shù)，因而B(niǎo)S公式得到的期權(quán)價(jià)格并不完全符合現(xiàn)實(shí)。一般來(lái)說(shuō)，象是一個(gè)微笑的表情，波動(dòng)率微笑因此而得名。一般說(shuō)來(lái)，波動(dòng)率微笑有以下兩種常見(jiàn)模式：1. 貨幣期權(quán)的波動(dòng)率微笑對(duì)于貨幣期權(quán)而言。我們可以從如下分析中看到這兩個(gè)圖是相互一致的。低于的概率大于正態(tài)分布的情形。 貨幣期權(quán)的波動(dòng)率微笑 貨幣期權(quán)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布和隱含分布研究發(fā)現(xiàn)，貨幣期權(quán)的波動(dòng)率微笑符合我們對(duì)匯率數(shù)據(jù)的實(shí)證結(jié)果。匯率的波動(dòng)率不是常數(shù)，而且匯率常常出現(xiàn)跳躍。離到期時(shí)間越遠(yuǎn)，跳躍和隨機(jī)波動(dòng)率對(duì)波動(dòng)率微笑的影響都會(huì)降低，因?yàn)闀r(shí)間越長(zhǎng)，跳躍和隨機(jī)波動(dòng)所造成的效果越可能被“平均化”，從而在價(jià)格的分布中幾乎看不到，因此到期日越遠(yuǎn)，波動(dòng)率微笑越不明顯，隱含波動(dòng)率越接近常數(shù)。當(dāng)執(zhí)行價(jià)格上升的時(shí)候，波動(dòng)率下降，而一個(gè)較低的執(zhí)行價(jià)格所隱含的波動(dòng)率則大大高于執(zhí)行價(jià)格較高的期權(quán)。 股票期權(quán)的波動(dòng)率微笑（偏斜） 股票期權(quán)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布和隱含分布股票期權(quán)之所以會(huì)有偏斜的波動(dòng)率微笑，一個(gè)可能的解釋與股市的“崩盤(pán)”有關(guān)。一般來(lái)說(shuō)，不同的標(biāo)的資產(chǎn)所表現(xiàn)出來(lái)的期限結(jié)構(gòu)具體形狀會(huì)有所不同，但它們大都具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：，波動(dòng)率大多表現(xiàn)出均值回歸（Meanreverting）。因此，為了消除時(shí)間因素對(duì)波動(dòng)率微笑的影響，一些交易者把波動(dòng)率微笑定義為。另一個(gè)方向是距離到期的時(shí)間，矩陣中的內(nèi)容是從BS公式中計(jì)算得到的隱含波動(dòng)率。剩余有效期執(zhí)行價(jià)格一個(gè)月三個(gè)月六個(gè)月一年兩年五年 波動(dòng)率矩陣四、波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的意義和應(yīng)用波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的存在，證明了BS公式關(guān)于波動(dòng)率為常數(shù)的基本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場(chǎng)不是這樣預(yù)期的。應(yīng)用這一策略時(shí)要非常小心，因?yàn)槠跈?quán)市場(chǎng)的隱含波動(dòng)率具有一定的局限性：（1）這一隱含波動(dòng)率可能是市場(chǎng)供求的影響結(jié)果而不完全是市場(chǎng)對(duì)波動(dòng)率的預(yù)期，而我們難以對(duì)供求關(guān)系推動(dòng)的和市場(chǎng)預(yù)期推動(dòng)的波動(dòng)率加以區(qū)分；（2）我們無(wú)法保證市場(chǎng)中的所有參與者都采用同一個(gè)定價(jià)模型。因此，在改良策略中我們使用BS模型具有一定的限制條件。對(duì)于那些對(duì)波動(dòng)率變動(dòng)很敏感的期權(quán)，僅僅使用改良策略可能具有較大的風(fēng)險(xiǎn)，這時(shí)一些交易者傾向于采用新的模型來(lái)為期權(quán)定價(jià)。第四節(jié) 隨機(jī)波動(dòng)率一、隨機(jī)波動(dòng)率模型 在現(xiàn)實(shí)世界中，波動(dòng)率顯然并非常數(shù)，而且無(wú)法直接在市場(chǎng)上觀測(cè)到，人們甚至發(fā)現(xiàn)波動(dòng)率是無(wú)法預(yù)測(cè)的。這時(shí)對(duì)函數(shù)和的選擇很重要，它不僅關(guān)系到波動(dòng)率的確定，也對(duì)期權(quán)定價(jià)有重要影響。下面我們介紹其中一些較為有名的波動(dòng)率模型。他們發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)波動(dòng)率確實(shí)會(huì)引起定價(jià)的偏差，而波動(dòng)率和資產(chǎn)價(jià)格之間的相關(guān)性在其中相當(dāng)重要。當(dāng)波動(dòng)率和股票價(jià)格負(fù)相關(guān)時(shí)，得到的結(jié)果類(lèi)似于股票期權(quán)的波動(dòng)率偏斜模式（）；當(dāng)它們之間是正相關(guān)時(shí)，結(jié)果正好相反，BS模型傾向于低估虛值看漲期權(quán)而高估虛值看跌期權(quán)。二、GARCH模型 另一個(gè)廣泛使用的波動(dòng)率模型是廣義自回歸條件異方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, GARCH）。由于只建立在最新一期和估計(jì)值的基礎(chǔ)上，因而被稱(chēng)為GARCH(1,1)。根據(jù)，我們可以算出；進(jìn)一步由于。時(shí)刻的分配的權(quán)重為，即隨著時(shí)間往前推移，分配的權(quán)重是以速率指數(shù)下降的，越早的數(shù)據(jù)權(quán)重越小。(1,1)模型預(yù)測(cè)未來(lái)的波動(dòng)率 通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，我們可以將式（）寫(xiě)作 由于，可得未來(lái)波動(dòng)率的預(yù)期值為 由于我們?cè)O(shè)定，隨著的增加，以上式子中的最后一項(xiàng)會(huì)越來(lái)越小，這意味著方差率會(huì)呈現(xiàn)出向的均值回歸，這和我們前面所討論的隨機(jī)波動(dòng)率模型具有相似的特點(diǎn)，也正是我們?cè)诓▌?dòng)率期限結(jié)構(gòu)中曾經(jīng)討論過(guò)的性質(zhì)。BS方程假定這些都是已知的，但現(xiàn)實(shí)世界并沒(méi)有那么完美。因?yàn)閷?shí)際上只有期權(quán)到期的時(shí)候，我們才能真正知道這些參數(shù)的正確值和遵循的路徑，再?gòu)?fù)雜精密的預(yù)測(cè)模型也有錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。用這樣的假設(shè)和思路，我們不會(huì)計(jì)算出期權(quán)的某一特定價(jià)值，而會(huì)發(fā)現(xiàn)期權(quán)的價(jià)值也將位于某個(gè)區(qū)間之內(nèi)。這樣組合的價(jià)值為。但是我們可以計(jì)算出最糟糕的情況下的期權(quán)價(jià)值。用數(shù)學(xué)公式表示為： 。這是因?yàn)槠跈?quán)多頭的都大于零，投資者當(dāng)然會(huì)選擇最小的波動(dòng)率得到最低的價(jià)值；而期權(quán)空頭的都小于零，投資者會(huì)選擇最大的波動(dòng)率，使其賣(mài)空的價(jià)值最大，意味著損失最大。因此我們可以計(jì)算出期權(quán)的可能價(jià)值區(qū)間，但是我們通常不會(huì)去使用價(jià)值上限，計(jì)算上限的價(jià)值在于：對(duì)于同一份合約來(lái)說(shuō)，它的多頭和空頭價(jià)值區(qū)間在數(shù)值上是相等的，只是最好和最差情景要顛倒過(guò)來(lái)而已。相應(yīng)地也就出現(xiàn)了單個(gè)期權(quán)和期權(quán)組合的區(qū)別。假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率位于之間，我們的投資組合還是，同樣設(shè)定組合的收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，可以得到。這樣，我們選擇的利率將依賴(lài)于的符號(hào)。假設(shè)股利率位于，那么對(duì)于最糟糕的情況，我們只要解出即可。相關(guān)關(guān)系是一個(gè)特別難以計(jì)算或預(yù)測(cè)的東西，此時(shí)不確定性扮演了一個(gè)重要的角色，可以應(yīng)用同樣的方法。解析解只在特殊情況下存在，而這些情況都要求波動(dòng)率、利率和股利所分別對(duì)應(yīng)的變量、和是統(tǒng)一符號(hào)的。這時(shí)這個(gè)模型就沒(méi)有什么實(shí)際意義。但在現(xiàn)實(shí)生活中，突然的跳躍（Jump）發(fā)生的次數(shù)比擁有一個(gè)合理波動(dòng)率的對(duì)數(shù)正態(tài)分布所預(yù)測(cè)的要多得多，短期來(lái)看這種變化是不連續(xù)的，我們無(wú)法通過(guò)動(dòng)態(tài)保值的方法規(guī)避這種跳躍帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。所謂的跳躍擴(kuò)散過(guò)程是普通的（路徑連續(xù)的）擴(kuò)散過(guò)程和一個(gè)在隨機(jī)時(shí)刻發(fā)生跳躍的（跳躍幅度也是隨機(jī)的）跳躍過(guò)程的結(jié)合，顯然這種變化過(guò)程更能反映現(xiàn)實(shí)價(jià)格路徑，對(duì)應(yīng)的模型則可以認(rèn)為是考慮資產(chǎn)價(jià)格有不連續(xù)的跳躍時(shí)對(duì)BS公式的推廣。即在一個(gè)很小的時(shí)間間隔里的一個(gè)跳躍的概率為。比如若，那么資產(chǎn)價(jià)格會(huì)立刻下跌10％。這個(gè)組合仍為：這樣，運(yùn)用Ito引理，包含了跳躍的組合價(jià)值變化為（）如果時(shí)刻沒(méi)有跳躍發(fā)生，則，那么我們就會(huì)選擇來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)。換一句話說(shuō)，盡管其中仍然包含風(fēng)險(xiǎn)，但的期望值卻應(yīng)該等于組合的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。當(dāng)時(shí)，這個(gè)方程退化成BS公式。 以上就是一般的跳躍擴(kuò)散方程及其簡(jiǎn)單形式的定價(jià)公式。在BS的對(duì)數(shù)正態(tài)模型中，只有一個(gè)參數(shù)需要預(yù)測(cè)。即使是數(shù)值方法求解也比較困難。事實(shí)上，進(jìn)行保值只能規(guī)避一般情形下瞬間的波動(dòng)，如果出現(xiàn)大幅升跌，這時(shí)進(jìn)行保值就沒(méi)有意義了。 P. Hua and P. Wilmott, “Crash Course,” Risk Magazine, 10 (June 1997), 6467提出了一個(gè)崩盤(pán)模型，考慮在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格出現(xiàn)極端變動(dòng)的情況下，如何為期權(quán)定價(jià)。我們的目的是計(jì)算出使組合風(fēng)險(xiǎn)最小的最優(yōu)，從而計(jì)算出的值。（，注意盡管有三個(gè)結(jié)果，但我們使用的仍然是二叉樹(shù)而非三叉樹(shù)模型，狀態(tài)C也是二叉樹(shù)模型上的一個(gè)節(jié)點(diǎn)。Hua amp。選定之后，我們讓組合收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，即。 最差的情形發(fā)生在擴(kuò)散過(guò)程中2. 小于臨界值的情形 當(dāng)小于臨界值，即最差的情況發(fā)生在崩盤(pán)的時(shí)候，我們必須考慮崩盤(pán)的影響。 最差的情形發(fā)生在崩盤(pán)情況下 以上就是存在崩盤(pán)可能的情況下的期權(quán)定價(jià)公式，可以使用一般二叉樹(shù)模型的倒推法計(jì)算出的價(jià)值。定義（），這里的是在剩余時(shí)間內(nèi)，還允許次崩盤(pán)的期權(quán)價(jià)格，因此仍然是根據(jù)BS公式計(jì)算的價(jià)格?；痉椒ㄍ拗票辣P(pán)總次數(shù)的計(jì)算方法。這樣，除非我們非常不幸，最糟的情況確實(shí)發(fā)生了，否則我們就可以獲得更多的預(yù)期收益。小結(jié)1. BS模型最基本的假設(shè)包括沒(méi)有交易成本、模型的參數(shù)如波動(dòng)率、利率和紅利率為常數(shù)或者至少是確定的函數(shù)、標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布等。3. 應(yīng)用期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格和BS公式推算出來(lái)的隱含波動(dòng)率具有以下兩個(gè)方面的變動(dòng)規(guī)律： “波動(dòng)率微笑”和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)。5. 面對(duì)不確定的參數(shù)，市場(chǎng)交易者采取的另一種方法是將它們?cè)O(shè)定在某個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間之內(nèi)而不是賦予它們一個(gè)確定的值，考慮在最悲觀的情況下期權(quán)至少值多少。附錄7A 本附錄中主要是歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式，可以利用看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系推出相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格。如果存在已知紅利，則這些紅利按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率計(jì)復(fù)利到時(shí)刻的值應(yīng)從b中扣除。如果當(dāng)天收盤(pán)時(shí)Samp。但事實(shí)上它們都不是一個(gè)常數(shù)，最為典型的波動(dòng)率甚至也不是一個(gè)時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的確定函數(shù)，并且完全無(wú)法在市場(chǎng)觀察到，也無(wú)法預(yù)測(cè)。3. 在放松布萊克－舒爾斯模型假設(shè)之后，常常出現(xiàn)非線性的偏微分方程，這意味著同一個(gè)組合中的期權(quán)頭寸可能出現(xiàn)互相對(duì)沖和保值，減少了保值調(diào)整成本，從而使得整個(gè)組合的價(jià)值并不等于每個(gè)期權(quán)價(jià)值之和，因此組合中一份衍生證券合約的價(jià)值往往取決于該組合中其他合約的價(jià)值。實(shí)際從業(yè)人員常常從隱含波動(dòng)率矩陣中獲取市場(chǎng)對(duì)資產(chǎn)價(jià)格分布的信息和預(yù)期，從而為衍生證券尤其是那些交易不活躍的期權(quán)定價(jià)。6. 復(fù)合期權(quán)模型下，股票價(jià)格分布右尾較對(duì)數(shù)正態(tài)分布小而左尾較大。隨著市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的加劇，只有精確度提高才能獲得更高的利潤(rùn)。9. 不確定性參數(shù)模型的定價(jià)思想為：我們不再假設(shè)已經(jīng)知道參數(shù)的精確價(jià)值，而是假設(shè)我們知道的這些參數(shù)位于某個(gè)特定的區(qū)間之內(nèi)（我們選擇的區(qū)間代表了我們對(duì)期權(quán)或期權(quán)組合的參數(shù)值在有效期間上下限范圍的預(yù)測(cè)），之后考慮最悲觀的情況下我們的期權(quán)至少值多少。盡管跳躍擴(kuò)散模型更接近現(xiàn)實(shí)，但是由于參數(shù)預(yù)測(cè)的困難、方程難以求解和完全保值的不可能性，使得它在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用不太廣泛。同時(shí)崩盤(pán)模型沒(méi)有對(duì)崩盤(pán)發(fā)生的時(shí)間和規(guī)模分布作任何假設(shè)，減少了參數(shù)預(yù)測(cè)的問(wèn)題，也沒(méi)有使用預(yù)期的概念。然而，這個(gè)下降程度很小，因?yàn)槠跈?quán)價(jià)值不可能小