總結求逆矩陣方法-預覽頁
【正文】 001，故 1?A =?????????????????????316161123213461361. (2)初等列變換 如果 n 階矩陣 A 可逆，作一個 2n ? n 的矩陣 ??????EA，然后對此矩陣施以初等列變換，使矩陣 A 化為單位矩陣 E ，則同時 E 化為 1?A ,即 ??????EA ? ?? ???????1AE. 3 / 17 例 用初等列變換求矩陣 A =??????????101111123 的逆矩陣。 解：令 A ＝ ?????? 11 12， B ＝ ?????? 31 52， D ＝ ?????? ?? 11 21，所以 1?A ＝ ??????? ?21 11 1?B ＝ ??????? ?21 53， 11 ??? DAB ＝ ??????? ?117 3019. 故 1?S ＝ 10 ??????? BDA ＝ ???????????1111 0BDABA＝??????????????????2111753301900210011. 分解矩陣求逆法 分解矩陣求逆法，即將已知矩陣分解成兩個矩陣之和，然后再求其逆。 例 當 b ? a 時，且 b ? (1n )a 時，求證： 1?A = ?????? ???? Eanb aEab )1(1. 6 / 17 證明：∵ A =bababa?????????+????????????aaaaaaaaa..................... =（ ba） E+??????????aaa ? ?1...111 . 于是由 ShermanMorrvson 公式定理可求得 A 的逆為： 1?A = ?????? ???? Eanb aEab )1(1，其中 E =????????????1...11............1...111...11. 由該例題若求形如矩陣 A 的逆，只要將 a 、 b 的值代入上述公式，即可求得。 根據(jù)引理 ,只需要考慮左上角的 m 階分塊為可逆矩陣的 m +1 階可逆方陣1?mA . 引理 設 m +1 階可逆方陣 1?mA =（ ija ） = ??????mmmm aA? ? ，其中 mA 為 m 階可逆方陣， m? 為 m 1 階矩陣， m? 為 1 m 階矩陣， ma = 1,1 ??mma ，則 ma ma 1?mA m? ? 0. 證明：由分塊矩陣乘法及 mA 可逆，有 ?????? mm mm aA? ? ?????? ? ?? 10 11 mmm AA ? = ?????? ? ?? mmmmmm m AaAE ??? 11 0， (1) 由 1?mA 可逆，即可得到 ma ma 1?mA m? ? 0，證畢。 9 / 17 推論 1 設 1?mA =diag(1a , 2a ,..., 1?ma )(ia ? 0,i =1,2,...,m +1),則 11??mA =diag( 11?a ， 12?a ， ...， 11??ma ). 證明：此時 m? =0， m? =0， mc = 1?ma ,于是 11??mA = ?????? ? 00 01mA + ?????? ??11000ma= ?????????1110 0mm aA=......=diag( 11?a ， 12?a ， ...， 11??ma ) . 推論 2 設 A = ?????? dc ba( 0??bcad )，則 1?mA = bcad?1 ??????? ?ac bd. 證明：設 a ? 0，此時 11?A = ??????a1， 1? = ???????ac， 1? = ???????ab， 1c = abcad? ，所以 11?A = ????????0001a + bcada??????????????12ac cbabc= bcad?1 ??????? ?ac bd，上式在 a =0也成立，證畢。若可逆，求此矩陣逆陣。 由 A 1?A ＝ ??????4321 AA AA ??????4221 ZZ ZZ ＝ ??????sr EE210 0 ，得 ???????????????srEZAZAZAZAZAZAEZAZA44232341314221321100?? ?? ?? ?? ???????????????????????????121134413142131431213421121314211AAAAZAAAAAAZAAAAAAZAAAAZ 注：應用此法，還可得出： （１） 1431 0 ??????? AAA ＝ ??????? ??? ? 141131411 0AAAA A（ 1A ， 4A 可逆） 。 循環(huán)矩陣的逆矩陣的求法 13 / 17 解線性方程組法 由循環(huán)矩陣的性質（ 3）可知 A =（ 0a ， 1a ， 2a ， ...， 1?na ）的逆矩陣為 1?A = 1?A （ 0x ， 1x ， 2x ， ...， 1?nx ），其中 ix ， i =0， 1， 2， ...， n 1 是線性方程 組 TA011nxxx?????????????=100????????????的唯一解。 解：利用輾轉相除法可得 5x 1=f (x )( 4141 ?x )+ 2121 ?x , f (x )=( 3224168 23 ??? xxx )( 2121 ?x )+ 2121 ?x ，并整理得 ? ??????? ???? 72222181 234 xxxx f (x )+ ? ? ? ?13224168181 523 ??????? ???? xxxx =1. 由上知 d (x )=1 0? ,故 A 可逆，且 u (x )= ? ?72222181 234 ???? xxxx ， 則 u (? )=A （ 187? ， 91 ， 91 ， 91 ， 91 ） = 1?A . 用歐幾里德方法求循環(huán)矩陣的逆矩陣可直接判斷該矩陣是否可逆，并且計算起來比較快捷。 解：由34 23=1? 0，知矩陣 ?????? 34 23可逆，其逆為 ??????? ?34 23，所以矩陣 A 可逆，由定理知 11?A =??????????????????????100000030040001000000100020200000001.
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