【正文】 方向后， 沿繞行方向按右手 螺旋 — 拇指方向 閉合曲面的 外法線方向 二、通量（標量） A? Sd? 穿過面元 的通量 A? 穿過整個曲面 S的通量 A? 穿過閉合曲面 S的通量 dSASdA ?c o s???? ???? ???? SS dSASdA ?c os???? ???? SS dSASdA ?c os??通量特性： 反映某一空間內場源總的特性 — 凈流量 通過閉合面 S的通量的物理意義 （流出正，流入負） 》 Ψ0，穿出多于穿入， S內有發(fā)出矢量線的 正源 》 Ψ0， 穿出 少于穿入， S內有 匯集矢量線的 負源 》 Ψ=0， 穿出 等于穿入， S內 無源 ，或 正源負源代數和為 0 A ?ndS167。 矢量場的散度 A?? ?矢量恒等式 例 19 原點處點電荷 q產生電位移矢量 試求電位移矢量 的散度。 ? ? ????V S SdAdVA ???應用： 》 將一個封閉面積分變成等價的體積分 》 將一個體積分變成等價的封閉面積分 證明： 散度定理 ? ? ????V S SdAdVA???證： 將閉合曲面 S包圍的體積 V分成許多小體積元 dVi (i=1~n)，計算每個體積元的小封閉曲面 Si上的通量，再疊加。 散度定理 例 110 球面 S上任意點的位置矢量為 求 S r d S???x y zr xe y e ze? ? ?SVr d S r d V? ? ? ??? ???解： 根據散度定理知 而散度為 3x y zr x y z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?所以 3343 3 43S V Vr d S r d V d V R R??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ???R為球面半徑 167。 例 111 求矢量 (c是常數 )沿曲線 (x2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量 x y zA y e xe c e? ? ? ?A dl? ? ??()l y d x x d y? ? ??2200s in ( 2 c o s ) ( 2 c o s ) ( s in )R d R R d R?? ? ? ? ?? ? ? ? ???222200 s in ( 2 c o s ) c o sR d R R d?? ? ? ? ? ?? ? ???2 2 2 20 ( sin c o s ) 2 c o sR R d? ? ? ? ???? ? ????2 20 ( 2 c o s )R R d? ????? 22 R???167。 說明： ? 由于面元是有方向的，它與閉合曲線 l的繞行方向成右手螺旋關系，因此在給定點上，上述極限對于不同的面元是不同的。 0?Aro t ?》 若 ，則為無旋場，反之為有旋場 167。 矢量場的旋度 例 113 在坐標原點處放置一點電荷 q， 在自由空間產生 的電場強度為 33 ()44 x y zqqE r x e y e z err? ? ? ?? ? ? ?求自由空間任意點 (r≠0)電場強度的旋度 解： 3 3 34x y ze e eqEx y zx y zr r r??? ? ?? ? ?? ? ?3 3 3 30334xyzq z y x zeey z z xr r r ryxexy rr??? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???????????? ? ? ??? ?? ? ? ?????? ? ? ??? ?0?靜電場的性質： 說明點電荷產生 的場為無旋場 （包括 r = 0的點） 167。 dSdl應用： 》 將矢量旋度的面積分轉換成該矢量的線積分； 》 將矢量的線積分轉換為該矢量旋度的面積分。 圓柱坐標系 了解 , zdl d dl d dl dz?? ? ? ?? ? ?1 2 31 , , 1zd l d l dlh h hd d d z?? ?? ? ? ? ? ?zzzzdS dl dl d dzdS dl dl d dzdS dl dl d ddV dl dl dl d d dz???????????? ? ?? ? ?????????對任意增量 dρ、 dφ 、 dz， P點位 置沿 ρ、 φ 、 z方向的 長度增量 為： 拉梅系數 （各方向的長度增量 與各自坐標增量之比）為： 面積元與體積元為： 1ze e ez??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?2222 2 211z?? ? ?????? ? ? ?? ? ? ????? ????167。 球面坐標系 了解 P點沿 r、 θ、 φ 方向的 長度增量 為： 拉梅系數為： 面積元與體積元為： , , si nrdl dr dl rd dl r d?? ? ? ?? ? ?1 2 31 , , s inr dldldlh h r h rd r d d?? ???? ? ? ? ? ?22si nsi nsi nrrrrdS dl dl r d ddS dl dl r drddS dl dl rdrddV dl dl dl r drd d????????? ? ????? ? ?????????11s inre e er r r??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?2222 2 2 2 211 s ins in s inrrrr r r???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?167。 亥姆霍茲定理 三 、 矢量場的基本方程： 基本微分方程：散度方程和旋度方程 基本積分方程：通量方程和環(huán)量方程 第一章總結 ? 主要公式 一、直角坐標系中 》 散度： 》 梯度： 》 旋度： 》 拉普拉斯： zAyAxAA zyx??????????? ?zyx ezeyex????????????? ????x y zx y ze e eAx y zA A A? ? ?? ? ?? ? ?2222222zyx ?????????? ????二、圓柱坐標系中 》 散度： 》 梯度： 》 旋度： 》 拉普拉斯： 11() zA AAAz???? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ?zezee????????????? ?????????1 zze eezAzA A A????????? ? ?? ? ?? ? ?222222 1)(1z???????????? ??????????三、球坐標系中 》 散度： 》 梯度： 》 旋度： 》 拉普拉斯： ??????? ??????????? ArArArrrA r s i n1)(s i ns i n1)(1 22??? ??????? ererer r?????????????s i n112si nsi nsi nrreeerrrArA rA r A?????????? ? ?? ? ?? ? ?22222222s i n1)(s i ns i n1)(1????????????????????????rrrrrr? 公式歸納 》 直角坐標系： 》 圓柱坐標系： 》 球坐標系： 111 321321 ?????? hhhzuyuxu11 321321 ?????? hhhzuuu ?????? s i n1 321321 rhrhhuuru ??????P點用 u1， u2， u3坐標表示，沿坐標增量方向的單位 矢量為 ，拉梅系數為 h1， h2， h3 1 2 3,e e e曲線正交坐標系中，統一公式： 》 散度： 》 梯度： 》 旋度： 》 拉普拉斯： ????????????????? )()()(1321321321321321AhhuAhhuAhhuhhhA?333222111111 euheuheuh????????????? ???? 3122 3 3 1 1 21 2 31 1 2 2 3 3eeeh h h h h hAu u uh A h A h A? ? ?? ? ?? ? ??????????????????????? )()()(13321322132113213212uhhhuuhhhuuhhhuhhh????作業(yè) 習題一 16 17 111