[工學(xué)]第三章 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 p 的 MLE . 似然函數(shù)為： 它與矩估計(jì)量是相同的。 例 4 設(shè) X1, X2, …, Xn 是取自總體 X 的一個(gè)樣本 , 求 ⑴ 參數(shù) θ和 μ的矩估計(jì)量； 1,( 。 , )E X x f x d x? ? ??????? ?22222xxe d x???? ? ? ??????? ? ? ??所以 12 2 211122niiniiXnXn??? ?? ?????????? ? ? ?????解得參數(shù) θ和 μ的矩估計(jì)量為 11? ?,nnS X Snn?? ??? ? ?⑵ 設(shè) x1, x2, …, xn是 X1, X2, …, Xn的樣本值，則 似然函數(shù)為 11 ()1( , ) ( 。 例：由大數(shù)定律知 一致性說(shuō)明：對(duì)于大子樣，由一次抽樣得到的估 計(jì)量 的值可作 θ 的近似值 3. 有效性 : 都是 的無(wú)偏估計(jì)量；若 則稱 較 有效 . 設(shè) 最小方差無(wú)偏估計(jì) 定義 : ? ,?( ) ( ) ,? , .Va r Va rUMVUE? ? ??? ? ???? ? ? ?設(shè) 是 的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量 若對(duì)于 的任一方差存在的無(wú)偏估計(jì)量 都有則稱 是 的一致最小方差無(wú)偏估計(jì) 記為Problem： 無(wú)偏估計(jì)的方差是否可以任意小 ? 如果不能任意小 ,那么它的下界是什么 ? 2l n ( 。 )( 3 )( 。? ),???,且滿足條件 : 2l n ( 。? ),???, 滿足上面定義條件；x1,….,x n 是來(lái)自總體 X的一個(gè)樣本 , T(x1,….,x n ) 是 g(? )的一個(gè)無(wú)偏估計(jì) . ??且 對(duì) 中 一 切 有()() gg ????? ?? 存 在 ,定理 (CramerRao不等式 ): 1 2 11( ) ( , , , ) ( 。niinniiininnng T x x x dx dxT x x x dxf dxfxf x x? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????????????則有 2[ ( ) ]()()gV a r TnI????1()()V a r T nI ??上述不等式的右端稱為 CR下界 , I(?) 為 Fisher信息量 . 特別地對(duì) θ 的無(wú)偏估計(jì)有 注 : (1) 定理對(duì)離散型總體也適用 .只需改積分號(hào)為求和號(hào)。 ( ) :: ( 。 ):。()gnI ???求方差下界綜上 , 求證 T是 g(?)的有效估計(jì)的步驟為 : 2[ ( ) ]()gV a r TnI???比較 與例 1. 設(shè)總體 X~Exp(1/θ),密度函數(shù)為 10,( 。 ), ( ) [ ] [ ]1d P X p X N XI p E Ed p p p?? ? ??所 以22 2 2 21 ( )[]( 1 ) ( 1 )V a r XE X N pp p p p? ? ??? 22( 1 )( 1 ) ( 1 )N p p Np p p p?????11?( ) ( ) ( )E p E X E XNN???又1 () NpE X pNN ??211?( ) ( ) ( )V ar p V ar x V ar xN N? ? ?21 ( ) ( 1 )V ar X p pn NnN??所以 1?()()V a r p n I p?1?pp xN?即 是 的有效估計(jì).CR下界為 1 (1 )()ppn I p n N??12( , , , ) ( ) ( 0 ) ,:nx x x Px????是 的 一 個(gè) 樣 本證 明3是例的 有 效 估 計(jì), , , .(():)x E x E X x U EV ar XV ar xnn???? ? ???因?yàn)樽C明 是樣本均值 故 是 的: {
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