[工學(xué)]第三章 參數(shù)點估計-全文預(yù)覽
【正文】 數(shù) θ和 μ的最大似然估計值分別為 1? m in { , , }nxx? ?111? ?( ) m i n { , , }ninix x x xn???? ? ? ??則參數(shù) θ和 μ的最大似然估計量分別為 1? m in { , , }nXX? ?1? m in { , , }nX X X? ??極大似然估計不變性 由于估計量作為樣本的函數(shù)是一個隨機(jī)變量 , 對于不同的樣本值 , 估計值也不同 , 因此評價一個 估計量的優(yōu)劣就不能僅由一個觀測值來確定 , 而要 根據(jù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)來評價 . 通常一個好的估計 量其觀測值應(yīng)在待估計參數(shù)的真值附近波動 , 且波 動的幅度越小越好 , 即要使估計量與待估計參數(shù)在 某種統(tǒng)計意義下非?！敖咏?. 常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是： 1． 無偏性 2． 有效性 3． 相合性 這里我們重點介紹前面兩個標(biāo)準(zhǔn) . 第 2節(jié) 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn) 而它的期望值等于未知參數(shù)的真值 . 則稱 為 的無偏估計 . 設(shè) 是未知參數(shù) 的估計量，若 . 真值 1．無偏性 估計量是隨機(jī)變量， 對于不同的樣本值會得到不同的 估計值 . 我們希望估計值在未知參數(shù)真值附近擺動， 這個標(biāo)準(zhǔn) . 這就導(dǎo)致無偏性 定義 無偏性的意義是： 用 來估計 時無系統(tǒng)偏差。 , ) , 00 , .xexfxx?? ?? ? ???????????? ??⑵ 參數(shù) θ和 μ的最大似然估計量。 例 3 設(shè) X1, X2, …, Xn 是取自總體 X 的一個樣本 , ，求參數(shù) a , b 的最大似然估計值。 最大似然估計法 : 是 的一個樣本值 (如離散型 ) (1)設(shè) 事件 發(fā)生的概率為 的函數(shù)， 形式已知 X的分布律為： 的聯(lián)合分布律為 ： 樣本的 似然函數(shù) 即取 使得： 與 有關(guān) , 記為 稱為參數(shù) 的 最大似然估計值 稱為參數(shù) 的 最大似然估計量 . 達(dá)到最大的參數(shù) 作為 的估計值， 現(xiàn)從中挑選使概率 樣本的似然函數(shù) 兩點說明 用上述求導(dǎo)方法求參數(shù)的 MLE有時行不通，這時要用極大似然原則來求 . 使似然函數(shù) 達(dá)到最大的 即 的 MLE， (4) 在最大值點的表達(dá)式中 , 用樣本值代入 就得參數(shù)的極大似然估計值 . (1) 由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合分布律 (或聯(lián)合密度 )。 樣本取自總體， 即樣本矩在一定程度上可以逼近總體矩， 一、矩估計法 其中 是待估參數(shù) 為來自 的樣本 , 存在 , 設(shè)總體的 k階矩 則樣本的 k階矩 (大數(shù)定律 ) 令 從中解得 k個方程組 即為 矩估計量 。 對于未知參數(shù)， 如何應(yīng)用樣本 所提供的信息去對 其一個或多個未知參數(shù)進(jìn)行估計。二、估計量的評選標(biāo)準(zhǔn) 一 、點估計 第三章 參數(shù)估計 三、區(qū)間估計 四、正態(tài)總體均值與方差的 區(qū)間估計 參數(shù)估計是統(tǒng)計推斷的基本問題之一， 問題中， 并不一定要求密度函數(shù)， 而只要知道參數(shù)那么 在許多實際 分布就決定了。 只有當(dāng)參數(shù) 確定后， 才能通過 概率密度函數(shù)計算概率。 這個估計方法是英國統(tǒng)計學(xué)家 爾遜 最早提出的 基本原理： 總體矩是反映總體分布的最簡單的 數(shù)字特征， 當(dāng)總體含有待估計參數(shù)時， 總體矩是 待估計參數(shù)的函數(shù)。 最大似然估計 就是在一次抽樣中 ,若得到觀測值 則選取 若一試驗有 n個可能結(jié)果 現(xiàn)做一試驗 , 在這 n個可能結(jié)果 作為 的估計值 ， 使得當(dāng) 時 ,樣本出現(xiàn)的概率最大 。 求極大似然估計 (MLE)的一般步驟是： 下面舉例說明如何求極大似然估計 L(p)= 設(shè) X1,X2,… Xn是取自總體 X~b(1, p) 的一個樣本，求參數(shù) p的極大似然估計 . 解：似然函數(shù)為 : 例 1 對數(shù)似然函數(shù)為： 對 p求導(dǎo)并令其為 0， =0 得 即為
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