【正文】 ............ 24 數(shù)列法 .......................................................................................................................... 25 3結(jié)束語 ................................................................................................................................... 1 4 謝辭 ....................................................................................................................................... 2 參考文獻(xiàn) .................................................................................................................................. 3 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 4 摘 要 、 兩百多 年之前，函數(shù)方程的解法和研究便已登堂入世，然其在數(shù)學(xué)分析中解法負(fù)責(zé)、形式千變?nèi)f化、一般性極大，以至于今，知其解法者卻也是少之又少，且函數(shù)方程的解得存在性和唯一性道目下依然也是一個未解之謎，不僅如此，同樣還有若干函數(shù)方程直到現(xiàn)在還沒有解出來。 關(guān)鍵詞 ：函數(shù)方程；賦值法；數(shù)學(xué)歸納法；柯西法；解法 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 5 Abstract Key Words： At the time of more than two hundred years before, had appeared function equation solution and research. In the mathematical analysis method, various forms, general, so greatly that by now, you know the solution to few and far between, and the function equation of the existence and uniqueness to remains a mystery until now, not only that, there are a number of functional equations until there is no solution. Because in the research on the basis of the theory of surface problem, must go to the solution of some functional equations, the French mathematician monge use wisdom in 1773 put the function equation into the finite difference equation to deal with。說其是學(xué)問又是因?yàn)?，?shù)學(xué)那些千變?nèi)f化的方程式自古以來便被各大數(shù)學(xué)家絞盡腦汁地給予研究，然而無論如何去研究，仍然都逃不出 —— 方程式的解讀。 從小學(xué)開始，我們便已早早兒接觸方程式了，從最簡單的一元一次，到后面的一元二次以及二元二次，以至于現(xiàn)如今到了大學(xué)，數(shù)學(xué)統(tǒng)稱 —— 高等數(shù)學(xué)，以及后面的一系列縱支。 當(dāng)然，在數(shù)學(xué)競賽中常常會遇到相關(guān)的函數(shù)方程問題，關(guān)于這類問題，主要是函數(shù)方程直接解決一個給定的或根據(jù)實(shí)際問題，然后解決其他擴(kuò)展名列表的功能。 函數(shù)的某些特征其基本解題步驟為 （ 1）確定所求問題含待定系數(shù)的解析式； （ 2） 借用 恒等條件，列出含待定系數(shù)的方程； （ 3）解方程或消去待定系數(shù) 例 已知 )(xf 是二次函數(shù)，且滿足 12)(2)1(3 2 ????? xxxfxf ，求 )( xf 解析式。 定義在正整數(shù)的函數(shù)方程，方程是基于遞歸形式給出，我們可以用遞歸的方法解決，從函數(shù)方程解的要求出發(fā)，從簡單的情況下，復(fù)發(fā)，派生方程出發(fā)。遞歸（或遞推）是解決函數(shù)方程的重要方法。 例 設(shè) )0(11 ????????? ? xxxxf求解 ? ?1?xf 。此種方法的好處便在于，使得精神上的數(shù)學(xué)思想得到充分的體現(xiàn)，然而在此還得注意換元后萬不可忘記還元和還原后新變量的取值范圍。 任何非空集合的自然數(shù)必須擁有最大數(shù)量（原則的最大數(shù)目） 產(chǎn)生第二數(shù)學(xué)歸納法： 1） 若 )1(f 成立 2） 假設(shè) rn? 時(shí) )(nf 成立，若 )1( ?rf 也成立，則 )(nf 對? 例 已知 xnfxnf s in)1(c o s)( ??? ，其中 xf co)1( ? . ]2,0[ π?x ， n 是自然數(shù)，試解出這個函數(shù)方程。 例 解函數(shù)方程 ? ? )1,0(,1 ?????????? xxcxxbfxaf（其中 a、 b、 c為直角三角形的三邊， a是斜邊長）（ 79年浙江省數(shù)學(xué)競賽題改） 解：由題意可知 ? ?xcxbfxaf 11 ???????? ?????????? （ 1） ? ? cxxbfxaf ???????? 1 ???????????? （ 2） 由（ 1） *b得 ? ? xbcxfbxabf 11 2 ???????? ?????????? （ 3） 由（ 2） *a得 ? ? ac xxabfxfa ???????? 12??????????? （ 4） 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 15 由（ 4） (3)得 ? ? ? ? ? ?x cbaxxfbxfa ??? 222 所以)( )()( 222bax cbaxxf ??? 又因?yàn)橹苯侨切蔚娜叿謩e為 a、 b、 c，其中 a是斜邊長 則 xc baxxc cbaxxf )()()( 222 ???? ? ?10 ?? xx 且 例 ??xf 是定義在 ? ???,0 的實(shí)值函數(shù)，且 2ln)()1( ?? xxfxf ，求 ??xf 。 ? ? ? ? xbcac xxfbxabfxabfxfa 111 22 ???????? ???????????????池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 16 （ 2）我們再從這個命題出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理證明得出相互矛盾的條件。反證法可以解決一些我們看似無能為力的題目。運(yùn)用函數(shù)的不動點(diǎn)求解函數(shù)方程也是一 個重要且有效地?cái)?shù)學(xué)方法。 必須注意的是 。 例 設(shè) )(xf 在 2?x 處連續(xù)，且 32)(lim2 ??? x xfx，又 )2(523)( 23 fxxxxf ????? ，求 )(xf 解： 因?yàn)? )(xf 在 2?x 處連續(xù) 所以 0302)()2()()2( l i ml i m 22 ??????? ?? x xfxxff xx 則 32)(2 )2()()2( l i ml i m 22 ??????? ?? x xfx fxff xx 故 1523)2(523)2(5)( 2323 ??????????? xxxfxxxfxf 例 已知 ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y x y x y? ? ? ? ?， (0) 1f? ? ，求 ()fx。在此過程中我們一定要注意自變量的取 值范圍。 這就是賦值法。應(yīng)用思路來解決建設(shè)問題暴露思維過程，可 以增強(qiáng)應(yīng)用的建設(shè)解決問題的思想的學(xué)生的意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力。一個問題，如果它是不容易解決在一個給定的系統(tǒng)中，如果能找到轉(zhuǎn)換到另一個系統(tǒng)時(shí)，相應(yīng)的問題之間的關(guān)系“ f”或 與之間的關(guān)系的輔助下新的數(shù)學(xué)模型“自然” ，才能到原來的問題解決方案，這是數(shù)學(xué)解題的構(gòu)造法。然后利用已有的知識，更快更方便的得到我們想要的答案了。 例 已知 xxxx xf 11)1(22 ???? ，求 )(xf 。 例 已知 5415)( 2 ?? xxf ，求 )()( xf n 解：由題意可知 令 xx ?? 5415 2 則 7272 ??x 則 727)727(155415)( 22 ????? xxxf 所以 727)727(15)( 22)2( ??? xxf 727)727(15)( 23)3( ??? xxf ?????? .. 727)727(15)( 2)( ??? xxf nn 函數(shù)迭代法其實(shí)有的時(shí)候可以利用 不動點(diǎn)法解出不動點(diǎn)，然后通過不動點(diǎn)進(jìn)一步去用函數(shù)迭代法解決我們所求的函數(shù)解析式 . 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 25 數(shù)列法 求定義在自然數(shù)集 N上的函數(shù) )(nf 。 解：由 qnpfnf ??? )1()( （ 1） 得 qnpfnf ??? )()1( （ 2） 由（ 2） （ 1）得 pnfnfnfnf )]1()([)()1( ????? 所以 pnfnf nfnf ??? ?? )1()( )()1( 所以數(shù)列 )}1()({ ?? nfnf 是首項(xiàng)為 )1()2( ff ? ，公比為 )1( ?pp 的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為 : 1)]1()2([)()1( ????? npffnfnf (3) 將（ 2）及 af ?)1( ， qapqpff ???? )1()2( 代入（ 3），并整理，得 1)1()( 1 ????? ? q ppp qanf n 例 已知 1)2()1( ?? ff ， xxfxfxf 2)()1(2)2( ????? )1( Zxx ?? 且 ，求)(xf 。那么我們的問題也就迎刃而解。在此，希望更多數(shù)學(xué)愛好者能把精力投入到這類問題的研究中。在此表示衷心的感謝 ！ 本次實(shí)驗(yàn)還得到了課題組的各位老師 以及相關(guān)同學(xué) 的大力協(xié)助，在此一并表示我的感謝！ 謝謝你們！ 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 參考文獻(xiàn) [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析 [M] 高等教育出版社 ， 1999， 9 [2]俞宏玉 函數(shù)方程的一些解法 [J] 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊， 20xx,10 [3]趙偉 . 函數(shù)方程的若干解法 [J]中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 ， 20xx， 6 [4]潘舜卿 一類函數(shù)的解法 [J]鹽城工業(yè)?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)第三期 1995,10 [5]李永樂，李正元 .數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書 [M]國家行政學(xué) 院出版社， 20xx [6] 王家正，喬宗敏 .數(shù)學(xué)分析方法選講 [M安徽大學(xué)出版社， 20xx [7]陸啟少 .現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ) [M]北京航天航空大學(xué)出版社， 1997 [8]阿拉坦巴根 試論用初等方法解函數(shù)方程 [J]民族高等教育研究 20xx [9]羅莎 培特（ ROZSA PETER） ；遞歸函數(shù)論（莫紹摸澤） [10]Monge（蒙日）， Memoires des Sauants， Etrangers， Parts，（ 1773）