【正文】 非線性化。 為此，我們需要學(xué)會(huì)求解 NS 方程。也是因?yàn)橛羞@樣的一個(gè)難題，長期以來，有一大批數(shù)值工作者都關(guān)注和研究有關(guān) NS方程的數(shù)值模 擬，現(xiàn)在仍有大批相關(guān)的論著與文獻(xiàn)出版。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 前言 4 本文 具體推導(dǎo)了海洋動(dòng)力學(xué)基本方程，推導(dǎo)出由 三個(gè)運(yùn)動(dòng)方程和一個(gè)連續(xù)方程構(gòu)成的 NS方程組，并由此推出海浪 表面二維線性波動(dòng)的基本方程， 對(duì)于無旋運(yùn)動(dòng)，分開求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題和動(dòng)力學(xué)問題，即先從拉普拉斯方程和邊界條件求得速度（或求得勢(shì)函數(shù)），再由拉格朗日積分求得壓強(qiáng)，使問題全部解決。本課題的完成主要通過以下幾章的介 紹來達(dá)到。 第三章主要介紹了海浪 表面二維線性波動(dòng)的基本方程 的推導(dǎo)過程及該方程的求解過程。線性波動(dòng)是研究復(fù)雜波的基礎(chǔ)，可以近似地說明復(fù)雜波的一些基礎(chǔ)。海洋中的流體運(yùn)動(dòng)總是與湍流結(jié)合在一起。 壓力梯度項(xiàng)的導(dǎo)出 如圖（ ）所示，在三維水體流動(dòng)中，令 p 和 pp?? 分別為控制 體左、右兩側(cè)所受的壓強(qiáng)，為控制體由于 xF? 壓力差在 x方向的受力，則 z p pp?? z? y? y x? x 圖 壓力梯度項(xiàng)的導(dǎo)出 zyppzypF x ?????? )( ??? zypFx ???? ?? 但 xxpp ?? ??? ，所以 ?????? xpzyxxpF x ???????? 式 中： ??為控制體的體積。 NS 方程的導(dǎo)出 海水是流體，其運(yùn)動(dòng)必須服從流體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律。又因一個(gè)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中還有受慣性力的作用。 ????31項(xiàng)相比其他項(xiàng)很小，可以忽略，故得： ????? ????????? VgVptV ??? 21DD （ ） 實(shí)際上，式（ ）就是 NS 方程。 又由式（ ）和式（ ）可得： ???????? ?????????????????????????? 222222s i n21z uy ux uvxpzuwyuvxuutu ???? （ ） ???????? ?????????????????????????? 222222s i n21z uy ux uuxpzvwyvvxvutv ???? （ ） ???????? ??????????????????????????? 222222c o s21z uy ux ugvxpzwwywvxwutw ???? （ ） 式（ ）就是流體在笛卡兒坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程。海水的密度幾乎是常量。我們期望 4個(gè)方程加上邊界條件能解出 4 個(gè)未知量。 只有在方程被高度簡化后，才有可能得到解析解。 理論分析主要是指現(xiàn)代科學(xué)理論 對(duì) 實(shí)際問題進(jìn)行分析的方法。 而且它的研究對(duì)象常常是針對(duì)線性的控制方程，必須簡化其物理，使其幾何表現(xiàn)有規(guī)律可循，對(duì)于非線性的情況，很難給出解析結(jié)果 [8]。但實(shí)驗(yàn)往往受到環(huán)境影響、操作不當(dāng)、儀器精度等的限制，還 會(huì)遇到資金成本，人力和 實(shí)驗(yàn)材料以及周期長等許多困難。 數(shù)值模擬是利用海洋模式對(duì)海洋現(xiàn)象的重復(fù)和預(yù)演，并揭示其動(dòng)態(tài)過程。 電子計(jì)算機(jī)上處理的計(jì)算必須是離散的和有限的，不能直接描述連續(xù)性問題，所以在數(shù)值計(jì)算方法中，首要的是如何把模式方程組列出離散形式， 離散化方法基本上可以分為兩類：（ 1）和離散相結(jié)合的譜法等多種分析，變分法和應(yīng)用快速傅里葉變換方法的； （ 2）有限差分法、有限元法、 PIC (ParticleInCell) 法 、 MAC (MarkerAndCell ) 法和 VOF (Volume Of Fluid) 法等 [9]。采用有限差分方法求解時(shí)，首先要浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 10 做的是等距或非等距分割計(jì)算域，分割點(diǎn)被稱為網(wǎng)格點(diǎn)，網(wǎng)格點(diǎn)之間的距離叫 晶格間距 或空間步長、水平分辨率。格距的取值應(yīng)根據(jù)研究的實(shí)際問題而定。 微分方程的離散化 下面對(duì)一維線性平流方程（ ）離散化，說明差分方程的建立。引入記號(hào) ),(1 txxuuni ???? ， ),(1 txxuuni ???? ， ),( txuuni ? ， （ ） 則式（ ） ,()改寫為 Rx uuxuninini?????????? ?? ?1 ， ）（ x??OR ， （ ） Rxuuxuninini?????????? ?? ?1， ）（ x??OR ， （ ）式（ ）和式（ ）分別稱為空間向前差分和空間向后差分，它們精度都是一階的。 利用泰勒展開方法構(gòu)造差分格式有較大 的靈活性，如用下式則可以構(gòu)造不同的差分格式 : 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 12 ? ? ???????????????? !3 )2(!222),(),( 333222 xx uxx uxxutxutxxu ）（?， ? ? ???????????????? !3 )2(!222),(),( 333222 xxuxxuxxutxutxxu ）（?， () 同理，對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散。如果離散的初始條件和邊界條件能夠給出，即可推出方 程（ ）的 3 種不同差分方 程。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 13 階段誤差與相容性 當(dāng)我們把海洋動(dòng)力學(xué)方程中的微分方程采用差分近似時(shí)，首先要求的性質(zhì)是相容性（一致性），即對(duì)應(yīng)的微分方程與差分方程相協(xié)調(diào)。 （ ) 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 14 把式（ ），（ ）都代入式（ ）： 0122 21 3333222 ????????? ???????? ??????????? ??????????????? ?????????x ux uxcxuct uttu， 0122 21 3333222 ????????? ???????? ??????????? ???????????? ?????????????x ux uxct utxuctu。 定義：當(dāng)有限差分 的 空間步長 x? 和時(shí)間步長 t? 趨向于零時(shí)，差分方程與微分方程近似，可以說與相應(yīng)微分方程是 相容 或一致的 [12]。 累積的截?cái)嗾`差叫累積誤差，定義為微分方程的解 niu 與差分方程的解 niU 之差： ninini Uue ?? 。 （ ） 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 15 假定： ninini eee ?? ?? 11 （ ） TTrni ?max （ ） 那么， tTetTeee nininini ????????? )1(1 ?? 。 （ ） 下面利用簡單的推導(dǎo)給出 ??? ?10 )1(nkk? 求和等式， 12 )1(...)1()1(1 ????????? ns ??? ，knks ??? ??10 )1( ?，即求和表達(dá)式，上式兩邊同乘 ? ???1 得： ? ? ? ? ? ? ? ?ns ????? ?????????? 1...1111 32。 從上面推導(dǎo)可看出它是不收斂的，一個(gè)差分格式與相應(yīng)的微分方程保持一致，并不能保證差分解的收斂性 舍入誤差與穩(wěn)定性 分析 數(shù)值解的誤差有兩種原因引起。一般地，舍入誤差很小，但求解差分方程的 過程是逐層進(jìn)行的，舍入誤差將不斷出現(xiàn)在以后的計(jì)算步驟中。假如這類誤差保持不變或越來越小，那么就可以在一定的精度條件下確保數(shù)值解的質(zhì)量，不然，這類誤差會(huì)越來越大，使得數(shù)值模擬出來的解毫無意義。 差分格式的穩(wěn)定性對(duì)數(shù)值模擬特別重要，矩陣方法、馮紐曼（ von Neumann）方法、能量方法等都是穩(wěn)定性方法的一般方法。在符合線 性穩(wěn)定判據(jù)時(shí)，雖然非線性差分方程在開始的時(shí)候是穩(wěn)定計(jì)算的，但隨后又會(huì)突然快速增長而不穩(wěn)定， 這不穩(wěn)定可不是通過縮短時(shí)間步長就能解決 [14]。所謂波動(dòng)實(shí)際上是海面的起伏，這種起伏的波峰波谷垂向距離也就 1m左右，稱之為波高。有時(shí)當(dāng)?shù)仫L(fēng)場(chǎng)引起海面波動(dòng)，而在有些情況下，波動(dòng)是由遠(yuǎn)處的風(fēng)暴影響而傳播到沿岸的，海岸破碎的波可能源自 10000km遠(yuǎn)處的風(fēng)暴或臺(tái)風(fēng)。我們把在風(fēng)力作用下在當(dāng)?shù)禺a(chǎn)生的一種海面不規(guī)則的起伏稱為風(fēng)浪，他的周期相對(duì)較小，一般為 10s 的量級(jí)。以此說明實(shí)際海洋中發(fā)生的一些比較規(guī)則的波動(dòng)現(xiàn)象。 海浪的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：海浪的傳播實(shí)際上是一種波形的傳播，能量的傳播，海水的質(zhì)點(diǎn)是作橢圓運(yùn)動(dòng)的；海浪在深海以定常速度和振幅運(yùn)動(dòng)；進(jìn)入淺海時(shí)，速度會(huì)減小、波高增加，在近海灘處會(huì)發(fā)生破碎；海底起伏可引起海浪的折射，海岸和障礙物引起海浪的反射和繞射。潮波的波長有數(shù)千米，是日、月相對(duì)于地球緩慢運(yùn)動(dòng) 時(shí)萬有引力緩慢并少量的變化所致。 由 NS 方程 組得不可壓無 粘性 流動(dòng)的 方程 組如下 ： xpzuwyuvxuutu ??????????????? ?1 ypzvwyvvxvutv ??????????????? ?1 （ ） gzpzwwywvxwutw ???????????????? ?1 連續(xù)方程 為 0????????? zwyvxu （ ） 邊界條件如下： （ 1）在海表 yvxuttwz ??????????? ????? dd, （ ） ),( tyxpp a? （ ） 式中： ap 是大氣壓力， ? 是海面高度。 ? ? zwyvxulVttt ccdddd ?????? ?? ? 式中： Ct 是任意封閉曲線