20xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科數(shù)學全解全析-預覽頁
【正文】 距離 ． 本小題主要考查空間中的線面關系，解三角形等基礎知識，考查空間想象能力與思維能力 （ I）證明：連結 CD， 三棱柱 1 1 1ABC ABC? 是直三棱柱， 1A 1C C B A M D E 第 6 頁 共 12 頁 ? 1CC? 平面 ABC ， ?CD為 1CD在平面 ABC 內的射影． ABC△ 中， AC BC? ， D 為 AB 中點， ? AB CD? ， ? 1AB CD? ． 11AB AB∥ ， ? 1 1 1AB CD? ． ( ) 0fq? 解得 1 0 , 1 0 ( ).qq? ? ? 舍 去 由題意及問題的實際意義可知，當 10q? 時， ()fq取得最大值，即 qE? 最大時的產量為 10. 第 9 頁 共 12 頁 20．（本小題滿分 14 分） 已知正三角形 OAB 的三個頂點都在拋物線 2 2yx? 上，其中 O 為坐標原點，設圓 C 是 OAB的內接圓（點 C 為圓心） （ I）求圓 C 的方程； （ II）設圓 M 的方程為 22( 4 7 c os ) ( 7 c os ) 1xy??? ? ? ? ?，過圓 M 上任意一點 P 分別作圓 C 的兩條切線 PE PF， ，切點為 EF， ，求 CECF， 的最大值和最小值 ． 本小題主要考查平面向量，圓與拋物線的方程及幾何性質等基本知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力． （ I）解法一：設 AB， 兩點坐標分別為 2112y y??????， 2222y y??????，由題設知 2 2 22 2 2 22 2 21 1 1 22 2 1 2()2 2 2 2y y y yy y y y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?． 解得 221212yy??， 所以 (62 3)A ， ， (6 2 3)B ?， 或 (6 2 3)A ?， ， (62 3)B ， ． 設圓心 C 的坐標為 (0)r， ，則 2 643r? ? ? ，所以圓 C 的方程為 22( 4) 16xy? ? ? ． 4 分 解法二：設 AB， 兩點坐標分別為 11()xy， ， 22()xy， ，由題設知 2 2 2 21 1 2 2x y x y? ? ? ． 又因為 2112yx? ， 2222yx? ，可得 221 1 2 222x x x x? ? ?．即 1 2 1 2( )( 2 ) 0x x x x? ? ? ?． 由 1 0x? ， 2 0x? ，可知 12xx? ，故 AB， 兩點關于 x 軸對稱，所以圓心 C 在 x 軸上． 設 C 點的坐標為 (0)r， ，則 A 點坐標為 3322rr??????，于是有 233222rr????????，解得 4r? ，所以圓 C 的方程為 22( 4) 16xy? ? ? ． 4 分 （ II）解：設 2ECF a??，則 2| | | | c o s 2 1 6 c o s 2 3 2 c o s 1 6C E C F C E C F ? ? ?? ? ? ?． 4 分 由 02tt??， ， ( ) ( )f b g b? ，可知1 22 tbtt? ? ? ???， 02t? ，所以 22na t????????是等比數(shù) 列，其首項為 22tb t? ? ，公比為 2t 。下面用數(shù)學歸納法證明 1nnaa? ? （ *nN? ） . (1) 當 1n? 時，由 ()fx 為 增 函 數(shù) ， 且 (1) 1f ? ，得 11( ) (1) 1a f b f? ? ?， 第 11 頁 共 12 頁 21( ) (1) 1b f a f? ? ?， 2 2 1( ) (1)a f b f a? ? ?， 即 21aa? ，結論成立?！?12 分 22．（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) 2 2 2 2( ) 2 ( ) 2 1tf x x t x x x t? ? ? ? ? ?， 1( ) ( )2g x f x? ． （ I）證明：當 22t? 時， ()gx 在 R 上是增函數(shù)； （ II）對于給定的閉區(qū)間 []ab， ，試說明存在實數(shù) k ，當 tk? 時， ()gx 在閉區(qū)間 []ab， 上是減函數(shù) ； （ III）證明： 3()2fx≥ ． 本小題主要考察二次函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，函數(shù)的最大值和最小值等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。( ) 2 1 0xxg x e te? ? ? ?。( ) 2 1 0xxg x e te? ? ? ?，即 2 xxt e e???在閉區(qū)間 []ab， 上成立即可。 9 分 令 () xH x e x??，則 39。(0) 0H ? ；當 0x?時， 39。 12 分
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