數(shù)值分析-第五章-函數(shù)近似計(jì)算的插值法-全文預(yù)覽
【正文】 22517513????5616 917 515 ???712 8 52 1 ?所以 1 1 1 2 2( ) ( ) ( )L x f l x f l x?? 5622513 ???? x5616915 ??? xLagrange線性插值多項(xiàng)式為 二、插值余項(xiàng) 插值的從上節(jié)可知 L a g r a n g exfy )(, ?0( ) ( )nn j jjL x l x f?? ?滿足 nixfxL iin ,1,0)()( ???],[ bax ??但 )()( xfxL n ? 不會(huì)完全成立 因此 , 插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差 , 那么我們?cè)鯓庸? 計(jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？ 1( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n in n nR x f x L x xR x f x L x K x x? ???? ? ?設(shè) 則 為 其 零 點(diǎn) ，可 設(shè) 1( ) ( ) ( ) ( )nnf x L x K x x? ???即 設(shè) 0?1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?若 引 入 輔 助 函 數(shù))( x?則有 0?的區(qū)分與注意 xt)( ix?且)()()( 1 inin xxKxR ??? ?0?即個(gè)零點(diǎn)上至少有在區(qū)間若令因此 ,2],[)(, ?? nbatxx i ?,0)( ?x?ni ,1,0 ??nix i ,2,1,0,0)( ????1( ) ( ) , ( ) , ( )nnL x x f x t???由 于 和 為 多 項(xiàng) 式 因 此 若 可 微 則 也 可 微)()()()()(11xtRtxRtnn???????也可令1( ) ( ) ( ) ( )nnf x L x K x x? ?? ? ?1( ) ( ) ( ) ( )i n i n if x L x K x x? ?? ? ?根據(jù) Rolle定理 , 個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間 1),()( ?? nbat?再由 Rolle定理 , 個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間 nbat ),()(? ??依此類推 階導(dǎo)數(shù)為零的使得內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)在區(qū)間 1)(,),( ?ntba ??0)()1( ?? ?? n)()1( tn??1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?( 1) ( 1) ( 1)1( ) ( ) ( ) ( )n n nnnf t L t K x t?? ? ??? ? ?由于 )!1()()( )1(???nfxK n ?)()()( 1 xxKxR nn ?? ? )()!1()(1)1(xnf nn???? ??所以 )()()( 截?cái)嗾`差的余項(xiàng)為插值多項(xiàng)式稱 xPxR nn( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nnnf L K x? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?因此 )!1()()()1( ???? ? nxKf n ? 0?即 定理 1. 0( ) [ , ] 1 , ( ) ( ) [ , ], { } [ , ] ,[ , ] ,nniif x a b n L x f x a bn x a bx a b?????設(shè) 在 區(qū) 間 上 階 可 微 為 在上 的 次 插 值 多 項(xiàng) 式 插 值 節(jié) 點(diǎn) 為則 有()nRx ( 1 )1() ()( 1 ) !nnf xn? ???? ?,)()(01 ??? ??niin xxx?其中 .,),( xba 且依賴于??Lagrange型余項(xiàng) |)(|m ax )1(1 xfM nbxan ???? ?|)(||)(|011 ???? ???niinn xxxN ?設(shè) |)(| xRn則 )()!1()(1)1(xnf nn???? ??11)!1(1???? nn NMn插值基函數(shù)的性質(zhì) ( 1 )10( 1 )00: ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )( 1 ) !( ) 1 , 1 ( 1 , 2 , ) ( ) 0,( ) 1( ) 1nnnni i niniiinniif x L x R xl x f f xnf x f i nlxflx???????????????? ? ? ?????插 值 基 函 數(shù) 的 一 個(gè) 重 要 性 質(zhì) :證 明取 則 及故Lagrange插值算法特點(diǎn) amp。 第五章 函數(shù)近似計(jì)算的插值法 若通過求解線性方程組 (1)來求解插值多項(xiàng)式 系數(shù) , 不但計(jì)算工作量較大 , 且難于得到 ia()nPx 的簡(jiǎn)單表達(dá)式 . 一、 代數(shù)多項(xiàng)式的構(gòu)造 : ()nPx通過找插值基函數(shù)的方法 ,得到插值多項(xiàng)式 ! 十八世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家 Lagrange對(duì)以往的插值算法進(jìn) 行研究與整理，提出了易于掌握和計(jì)算的統(tǒng)一公式， 稱為 Lagrange插值公式 。如下圖所示。第五章 函數(shù)近似計(jì)算的插值法 ()iiy f xxf?1. 在 工 程 實(shí) 際 問 題 中 , 某 些 變 量 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 是 存 在 的 , 但 通 常 不 能 用 式 子 表 示 , 只 能 由 實(shí) 驗(yàn) 或 觀 測(cè) 得 到 在 一 系 列 離 散 點(diǎn) 上 的 函 數(shù) 值 . 2 ( )fx. 有 的 函 數(shù) 雖 然 有 表 達(dá) 式 , 但 比 較 復(fù) 雜 , 計(jì) 算 函 數(shù) 很 不 經(jīng) 濟(jì) 且 不 利 于 在 計(jì) 算 機(jī) 上 進(jìn) 行 計(jì) 算 .( , ) ( ).iix f y f x?希 望 通 過 這 些 數(shù) 據(jù) 計(jì) 算 函 數(shù) 在 其 他指 定 點(diǎn) 處 的 近 似 值 或 獲 取 其 他 信 息, ( ) ( ) .p x f x這 兩 種 情 況 下 都 希 望 用 簡(jiǎn) 單 的 函 數(shù) 來 逼 近 原 函 數(shù)插值問題的提出 插值 ：已知 [a, b]上的函數(shù) y=f(x)在 n+1個(gè)互異點(diǎn)處的函數(shù)值 : fn ?????? f2 f1 f0 f(x) xn ?????? x2 x1 x0 x 求簡(jiǎn)單函數(shù) P(x)，使得 ( ) 0 , 1 , (), *iiP x f i n??計(jì)算 f(x)可通過計(jì)算 P(x)來近似代替。 二、代數(shù)插值多項(xiàng)式的存在唯一性 ( ) [ , ]y f x a b?設(shè) 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 的 代 數(shù) 插 值 多 項(xiàng) 式 為20 1 2() nnnp x a a x a x a x? ? ? ? ?且滿足 ( ) 0 , 1 , 2 , , ,n i ip x f i n??.ia其 中 是 n+1 個(gè) 待 定 的 系 數(shù)0 1 2( ) , , , ,nnP x a a a a即 多 項(xiàng) 式 的 系 數(shù) 滿 足 線 性 方 程
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