【正文】 的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說(shuō)明．)3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．)三、活動(dòng)設(shè)計(jì)提問(wèn)、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答．四、教學(xué)過(guò)程(一)橢圓概念的引入前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：?jiǎn)栴}1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？人教版高中數(shù)學(xué)全部教案對(duì)上述問(wèn)題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)．提出這一問(wèn)題以便說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形．問(wèn)題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如：“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神．比如說(shuō)，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫(huà)圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖213)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫(huà)出一個(gè)橢圓．教師進(jìn)一步追問(wèn)：“橢圓，在哪些地方見(jiàn)過(guò)？”有的同學(xué)說(shuō)：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說(shuō)：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等??在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)FF2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距．人教版高中數(shù)學(xué)全部教案學(xué)生開(kāi)始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)FF2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟．(1)建系設(shè)點(diǎn)建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模詢啥c(diǎn)FF2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖214)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(1，0)，F(xiàn)2(c，0)．(2)點(diǎn)的集合由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．人教版高中數(shù)學(xué)全部教案(3)代數(shù)方程(4)化簡(jiǎn)方程化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書(shū)寫(xiě)比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見(jiàn)問(wèn)題3說(shuō)明．整理后，再平方得(a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2)②為使方程對(duì)稱和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要(a＞b＞0)．關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)0)、F2(c，0)，這里c2=a2b2；c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到．人教版高中數(shù)學(xué)全部教案教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．(三)例題與練習(xí)例題平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫(xiě)出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用FF2表示．取過(guò)點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2c2=5245=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)FF2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分練習(xí)1 寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是[]人教版高中數(shù)學(xué)全部教案由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié)1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)FF2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．3．圖形如圖21216．4．焦點(diǎn)：F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)．五、布置作業(yè)1．如圖217，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．人教版高中數(shù)學(xué)全部教案3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：是過(guò)F1的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)，求△ABF2的周長(zhǎng)． 作業(yè)答案：4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長(zhǎng)為4a．六、板書(shū)設(shè)計(jì)人教版高中數(shù)學(xué)全部教案橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．二、教材分析1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較．)2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說(shuō)明．)人教版高中數(shù)學(xué)全部教案3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．)三、活動(dòng)設(shè)計(jì)提問(wèn)、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答．四、教學(xué)過(guò)程(一)橢圓概念的引入前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：?jiǎn)栴}1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？對(duì)上述問(wèn)題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)．提出這一問(wèn)題以便說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形．問(wèn)題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如：“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神．比如說(shuō)，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：人教版高中數(shù)學(xué)全部教案取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫(huà)圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖213)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫(huà)出一個(gè)橢圓．教師進(jìn)一步追問(wèn)：“橢圓，在哪些地方見(jiàn)過(guò)？”有的同學(xué)說(shuō)：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說(shuō)：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等??在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)FF2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距．學(xué)生開(kāi)始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)FF2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：(1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．(二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟．(1)建系設(shè)點(diǎn)建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模私贪娓咧袛?shù)學(xué)全部教案以兩定點(diǎn)FF2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖214)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(1，0)，F(xiàn)2(c，0)．(2)點(diǎn)的集合由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程(4)化簡(jiǎn)方程化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書(shū)寫(xiě)比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見(jiàn)問(wèn)題3說(shuō)明．整理后，再平方得(a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2)②為使方程對(duì)稱和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要(a＞b＞0)．關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．人教版高中數(shù)學(xué)全部教案示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)0)、F2(c，0)，這里c2=a2b2；c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．(三)例題與練習(xí)例題平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫(xiě)出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用FF2表示．取過(guò)點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2c2=5245=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)FF2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分人教版高中數(shù)學(xué)全部教案練習(xí)1 寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是[]由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié)1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)FF2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．3．圖形如圖21216．人教版高中數(shù)學(xué)全部教案4．焦點(diǎn)：F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)．五、布置作業(yè)1．如圖217，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：人教版高中數(shù)學(xué)全部教案是過(guò)F1的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)，求△ABF2的周長(zhǎng)． 作業(yè)答案：4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長(zhǎng)為4a．六、板書(shū)設(shè)計(jì)橢圓的幾何性質(zhì)一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)人教版高中數(shù)學(xué)全部教案通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫(huà)出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)通過(guò)對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生