第七篇 第4講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題-全文預覽
【正文】 12 分 )(2021合肥模擬 )畫出不等式組??? x－ y＋ 5≥ 0，x＋ y≥ 0，x≤ 3表示的平面區(qū)域，并回答下列問題： (1)指出 x、 y 的取值范圍； (2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個整點？ 解 (1)不等式 x－ y＋ 5≥ 0 表示直線 x－ y＋ 5＝ 0上及其右下方的點的集合， x＋ y≥ 0 表示直線 x＋ y＝ 0 上及其右上方的點的集合， x≤ 3 表示直線 x＝ 3 上及其左方的點的集合． 所以，不等式組??? x－ y＋ 5≥ 0，x＋ y≥ 0，x≤ 3 表示的平面區(qū)域如圖所示． 結(jié) 合圖中可行域得 x∈ ??? ???－ 52， 3 ， y∈ [－ 3,8]． (2)由圖形及不等式組知????? － x≤ y≤ x＋ 5，－ 52≤ x≤ 3，且 x∈ Z， 當 x＝ 3 時，－ 3≤ y≤ 8，有 12 個整點； 當 x＝ 2 時，－ 2≤ y≤ 7，有 10 個整點； 當 x＝ 1 時，－ 1≤ y≤ 6，有 8 個整點； 當 x＝ 0 時， 0≤ y≤ 5，有 6 個整點； 當 x＝－ 1 時， 1≤ y≤ 4，有 4 個整點； 當 x＝－ 2 時， 2≤ y≤ 3，有 2 個 整點； ∴ 平面區(qū)域內(nèi)的整點共有 2＋ 4＋ 6＋ 8＋ 10＋ 12＝ 42(個 )． 8． (13 分 )制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為 100%和 50%，可能的最大虧損率分別為 30%和 10%.若投資人計劃投資金額不超過 10 萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過 萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？ 解 設投資人分別用 x 萬元、 y 萬元投資甲、乙兩個項目， 由題意知??? x＋ y≤ 10，＋ ≤ ，x≥ 0，y≥ 0，目標函數(shù) z＝ x＋ . 上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分 (含邊界 )即為可行域． 將 z＝ x＋ 變形為 y＝－ 2x＋ 2z，這是斜率為－ 隨 z 變化的一組平行線，當直線y＝－ 2x＋ 2z 經(jīng)過可行域內(nèi)的點 M 時，直線y＝－ 2x＋ 2z 在 y 軸上的截距 2z 最大， z 也最大． 這里 M 點是直線 x＋ y＝ 10 和 ＋ ＝ 的交點． 解方程組 ??? x＋ y＝ 10，＋ ＝ ， 得 x＝ 4， y＝ 6， 此時 z＝ 4＋ 6＝ 7(萬元 )． ∴ 當 x＝ 4， y＝ 6 時， z 取得最大值， 所以投資人用 4 萬元投資甲項目、 6 萬元投資乙項目，
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