【正文】 nk ????{Re[ x(n)] ??j Im[ x (n)]}{Re[WNnk ] ??j Im[WN ]} n ?0 N ?1 nknk ????{Re[ x( n)]Re[WN ] ??Im[ x( n )]Im[WN ] ??j (Re[ x (n)]Im[WNnk ] ??Im[ x(n)]Re[WNnk ])} (32) 14 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 由式 (32)可見，一次復(fù)數(shù)乘法需用四次實數(shù)乘法和二次實數(shù)加法； 一次復(fù) 數(shù) 加 法 需 二 次 實 數(shù) 加 法 。仔細(xì)觀察 DFT 的運算就可以看出，利用系 nk數(shù) WN 的以下固有特性，就可以減少運算量： nknk?(1) WN 的對稱性 ： ( WN )* = WN nk nknk(n (2) WN 的周期性： WN = WN n ??N ) k = WN ( k ??N ) nknkmnknknk /(3) WN 的可約性： WN = WmN ， WN = WN / mm 這樣，利用這些特性，使 DFT 運算中有些項可以合并，并能使 DFT 分解 為更少點數(shù)的 DFT 運算。 按時間抽取 (DIT)的基 2FFT 算法原理 設(shè)序列 x(m)是長度 N=2m 的有限長序列，按 n 的奇偶把 x(m)分為兩個 N/2 點的奇偶子序列： ??x(2r ) ??x1 (r ) ? ??x(2r ??1) ??x2 (r ) 則可將 DFT 化為： X (k ) ??DFT [ x(n)] ????x (n)W n ?0 N?1 2 r ?0 N?1 2 r ?0 N ?1 nk N N ?1 r ??0,1,... N ?1 2 N ?1 (33) ? n ?0 n偶數(shù) ??x(n)W nk N ? n??0 n奇數(shù) ??x(n)W nk N 2(2 ????x(2r )WN rk ????x(2r ??1)WN r ?1) k N?1 2 r ?0 N?1 2 r ?0 ????x1 (r )(WN2 )rk ??WNk ??x2 (r )(WN2 )rk 15 (34) 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 2π 2 N N ) 2 由于 W ??e 2 N ?j ?e ??j 2π /( ??WN / 2 ，故上式可表示為： N?1 2 r ?0 rkkk X (k ) ????x1 (r )WN / 2 ??WN ??x2 (r )WNrk/2 ??X 1 (k ) ??WN X 2 (k ) r ?0 N?1 2 (35) 式中 X1(k)和 X2(k)分別是 x1(r)和 x2(r)的 N/2 點 DFT。綜上， X (k ) 表達(dá)為前后兩部分為： k ??X (k ) ??X 1 (k ) ??WN X 2 (k ) ? ?N X (k ??) ??X 1 (k ) ??WNk X 2 (k )? ?2 k ??0,1,..., N ?1 2 (37) 可見，只要求出 0~(N/2－ 1)區(qū)間內(nèi)的所有 X1(k)和 X2(k)值，就可求出 0~(N － 1)區(qū)間內(nèi)的所有 X(k)值， 顯然節(jié)省了運算量。式 (38)的蝶形運算 用圖 31 來表示，由一次復(fù)數(shù)乘法和兩次復(fù)數(shù)加（減）法組成。自然順序數(shù) I 增加 1，是在順序數(shù)的二進(jìn)制 最低位加 1，向左進(jìn)位，而倒序數(shù) J 則是在二進(jìn)制數(shù)最高位加 1，向右進(jìn)位。若 JI，意味著此 x(I)在前面已和 x(J)調(diào)換過，不必 再調(diào)換了； JI， 若才將兩存儲單元內(nèi)容互換。 r WN 因子的確定 對于第 m 級運算，一個 DFT 蝶形運算的兩節(jié)點 “ 距離 ” 2m1，為因而式 (38) 可以寫成： r ??X m (k ) ??X m ?1 (k ) ??X m ?1 (k ??2 m?1 )WN ?m ?1m ?1r??X m (k ??2 ) ??X m ?1 (k ) ??X m?1 (k ??2 )WN r為了完成式 (39)的運算，還必須知道系數(shù) WN 的變換規(guī)律： (39) (1) 把上式中蝶形運算兩節(jié)點中的第一個節(jié)點標(biāo)號值 k， 表示成 M 位二進(jìn)制 數(shù)（ N=2M）； (2) 把此二進(jìn)制數(shù)乘上 2Mm，即將此 M 位二進(jìn)制數(shù)左移 Mm 位，（ m 表示 第 m 級運算），右邊空出來的位置補零，此數(shù)即為所求 r 的二進(jìn)制數(shù)。如不采取 特殊措施，往往是把 x(n)視為一個虛部為零 的復(fù)序列，這樣會增加運算量。 對于一個 2N 點實序列 a(n)，其中 0≤n≤2N1，要計算的 2N 點傅里葉變換 Xa(m)。這使用這 種方法，在組合輸入和拆散輸出的操作中， FFT 運算量減半，這樣利用實數(shù) FFT 18 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 算法來計算實輸入序列的 DFT 的速度幾乎是一般復(fù) FFT 算法的兩倍。 實序列 FFT 的高效算法 在發(fā)現(xiàn)了 FFT 結(jié)果的線性和奇偶對稱性之后，人們認(rèn)識到兩個 N 點實序列 的 FFT 可以使用一個 N 點的復(fù)序列的 FFT 來實現(xiàn)，并提出了使用 N 點復(fù)序列 的 FFT 求取 2N 點的實序列 FFT 的方法。 圖 32 N=8 倒位序的變址處理 17 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 蝶形運算兩節(jié)點的 “距離 ” 以圖 32 的 8 點的 FFT 為例，其輸入是倒序的，輸出是自然順序的。 N=8 時把按自然順序存放在存儲器單元中的數(shù)據(jù)，換成 FFT 原位運算流圖 所要求的倒位序變址功能如圖 32 所示，當(dāng) I=J 時，不必調(diào)換；當(dāng) I≠J 時，需要 將原來存放數(shù)據(jù) x(I)的存儲單元內(nèi)調(diào)入數(shù)據(jù) x(J)，而存放 x(J)的存儲單元內(nèi)調(diào)入 x(I)。 倒位序規(guī)律 當(dāng)運算完成后， FFT 的輸出 X(k)按正常順序排列在存儲單元中，但這時輸 入 x(n)卻不是按自然順序存儲的，這正是由于對 x(n)做奇、偶分開所產(chǎn)生的。 X 1 (k ) X 1 ( k ) ??WNk X 2 ( k ) X 2 (k ) kWN X 1 ( k ) ??WNk X 2 (k ) 圖 31 時間抽取法蝶形運算流圖 16 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 按時間抽取的 FFT 算法的特點 原位運算（同址運算） 原位運算可節(jié)省存儲單元，降低設(shè)備成本。這兩個 N/2 點的 DFT 再按照式 (35)組合成一個 N 點的 DFT。它的算法形式有很多種，基本上可以分成兩大類，即按時間抽取 (DecimationinTime,縮寫為 DIT)法和按頻率抽取 (DecimationinFrequency,縮寫 為 DIF)法，如果算法是通過逐次分解時間序列 x(n)得到的，這種算法稱為按時 間抽取的算法。所以，整個 DFT 運算共需要 4N 2 次實數(shù)乘法 和 2N(2N1)次實數(shù)加法?？焖俑道锶~變換 (FFT)是數(shù)字信號處理 中最為重要的算法之一， FFT 出現(xiàn)后使得 DFT 的運算大大簡化，運算時間一般 可縮短一二個數(shù)量級之多，使 DFT 的運算在實際中真正得到了廣泛的應(yīng)用 [15]。 例如，在信號的頻譜分析、系統(tǒng)的分析、 設(shè)計和實現(xiàn)中都會用到 DFT 的計算。 13 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 第 3章 電力參數(shù)測量算法的分析研究及仿真 基于傅里葉變換的諧波分析算法 傅里葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域中的一種分析工具，可以將信號從時域變 換到頻域，稱為傅里葉正變換；也可以把信號從頻域變換到時域，稱為傅里葉 反變換?，F(xiàn)有的小波函數(shù)還都無法實現(xiàn)諧波的精確測量，因而必須 設(shè)法構(gòu)造一個分頻嚴(yán)格、能量集中的小波函數(shù)，改善測量精度。原則上，凡傳統(tǒng)傅里葉變換能夠分析的地方都可以用 小波變換來代替。 1984 年，日本學(xué)者 等提出瞬時無功功率理論， 提出基于三相三線制電路的 pq 法和 ipiq 法兩種諧波電流的測量方法。采樣法包括同步采樣和準(zhǔn)同步采樣。 快速傅里葉變換（ FFT）是目前數(shù)字化諧波測量應(yīng)用最為廣泛的一種方法， 它的優(yōu)點是精度較高、功能較多、使用方便，其缺點是需要一定時間的電流值， 進(jìn)行兩次變換，計算量大，檢測時間長 ，實時性不夠好?，F(xiàn)代變壓器和大型電機(jī)在 穩(wěn)態(tài)運行時不會給電網(wǎng)帶來明顯的畸變，當(dāng)有暫態(tài)擾動，使其工作在正常范圍 以外，就會有大幅的畸變產(chǎn)生。其諧波含量決定于設(shè)備本身的 特性和工作狀況，基本上與電力系統(tǒng)參數(shù)無關(guān)，是諧波恒流源。但實際的公用電網(wǎng)中，電壓、 電流波形并不是理想的正弦形式，這是因為諧波的存在，使得波形產(chǎn)生畸變 [10]。 頻率偏差采用歐洲發(fā)電聯(lián)盟推薦的方法來進(jìn)行統(tǒng)計分析。 另一種測量方法是，首先對用交流采樣得到的采樣數(shù)據(jù)信號進(jìn)行數(shù)字濾波， 濾除其中的基波后，通過插值法求波形過零點的時刻，通過插值法求波形過零 點的時刻，進(jìn)而求得相應(yīng)的周期。 頻率及頻率偏差的測量 根據(jù)《電能質(zhì)量 電力系統(tǒng)頻率允許偏差》中的規(guī)定 [9]，電力系統(tǒng)正常頻率 偏差允許值為 ，當(dāng)系統(tǒng)容量較小時偏差值可放寬到 。 無功功率采用 Fryze 無功定義： Q ??S 2 ??P2 根據(jù)計算好的有功功率和視在功率，可得功率因數(shù)為： cos ? ? P S (210) (29) (28) 電能質(zhì)量指標(biāo)的測量 電壓偏差的測量 電壓允許偏差是指電力系統(tǒng)電壓緩慢變化時，實際電壓與系統(tǒng)標(biāo)稱電壓之 差 [8]。 正弦波情況下，有功功率為 P ??UI cos ? ，但是在電壓、電流含有各次諧波 的情況下，此時有功功率為 1P ????u (t )i (t )dt T0 T (25) 8 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 那么單項有功功率離散化，以一個周期內(nèi)有限個電壓和電流瞬時值來代替 一個周期內(nèi)連續(xù)電壓和電流后得單項有功功率為： 1 N ?11 N ?1T1P ????(unin ?T ) ????(unin ) ? ???T n ?0T n ?0NN ?u i n??0 N ?1 nn (26) 其中 un、 in 為三相電壓、電流的瞬時采樣值。當(dāng)滿足采樣定理時離 散采樣序列 i(n)、 u(n)將包含工頻交流信號中有關(guān)電參量的信息，由數(shù)值積分理 論可計算出工頻交流電信號的電參量。 交流采樣技術(shù)是按一定規(guī)律對被測信號的瞬時值進(jìn)行采樣，再按一定算法 7 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 進(jìn)行數(shù)值處理，從而獲得被測信號信息的方法。而根據(jù)被采集信號方法的不同，交 流電參量的采樣測量方法主要有兩種：直流采樣法和交流采樣法。 對于一個畸變的非正弦周期函數(shù)，可以用傅里葉級數(shù)表示為： f (t ) ??A0 ??A1 cos(ω1t ???1 ) ??A2 cos(ω2t ??? 2 ) ??... ??An cos(ωn t ??? n ) ??... (21) 其中， 0 是直流分量， n 是周期分量的峰值； ?n 是響應(yīng)周期分量的初相角。這些量主要包括：三相電壓、電流有效值； 電網(wǎng)的系統(tǒng)頻率；電壓、電流的各次諧波分量及諧波總畸變率；三相有功功率， 三相無功功率和三相視在功率；功率因數(shù)；各次諧波含有率；波形及波形因數(shù)； 電壓、電流中的負(fù)序和正序分量；電壓波動值 [3]。 該算法實時性好、簡單，在不需要測量基波和各次諧波參數(shù)的情況下，可以選 用此方法；傅里葉及改進(jìn)的傅里葉算法是目前應(yīng)用最多的算法，可以一次算出 信號中所用的諧波，應(yīng)用方便，已經(jīng)才電力系統(tǒng)測量中得到了廣泛的應(yīng)用 ；小 波變換算法因其在時域頻域都具有較好的分辨率，在電力系統(tǒng)測量中有很好的 研究價值 [2]。 正弦模型算法主要有最大值算法、單點算法、半周期積分算法、兩點算法、 導(dǎo)數(shù)算法、和快速三點算法。直流采樣是把交 流電壓、電流信號轉(zhuǎn) 化為 0~5V 的直流電壓，這種方法的主要優(yōu)點是算法簡單，便于濾波，但投資 較大，維護(hù)復(fù)雜，無法實現(xiàn)實時信號采集，因而在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用受到限制。重點介紹了 FFT 算法在 DSP 上的實現(xiàn)方法以及基于窗函數(shù)設(shè)計法 的低通 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計方法。各模塊 之間通過信息交換協(xié)調(diào)工作。 對按時間抽取（ DITFFT）的基 2FFT 算法的原理和特點進(jìn)行了詳細(xì)地分析，并 采用了一種針對電力參數(shù)采集中實序列輸入的高效 FFT 算法。 論文研究的主要內(nèi)容 本論文緊密結(jié)合導(dǎo)師的電力參數(shù)監(jiān)測裝置的實際開發(fā)項目，在借鑒