語(yǔ)文版中職數(shù)學(xué)拓展模塊62《等差數(shù)列的性質(zhì)》1-全文預(yù)覽
【正文】 { an} 是等差數(shù)列的充要條件是 Sn＝ An2＋ Bn ( A ， B 是常數(shù) ， n ∈ N*) ． 。??????－18a1 ≤ 0 ， 解得??? n ≤ 9 ，n ≥ 8 ， 即 8 ≤ n ≤ 9 ， 又 n ∈ N*， ∴ 當(dāng) n ＝ 8 或 9 時(shí) ， Sn有最大值 ． 解法四： 由解法二得 d ＝－18a 1 ＜ 0 ， 又 S 5 ＝ S 12 得 a 6 ＋ a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ＋ a 10 ＋ a 11 ＋ a 12＝ 0 ， ∴ 7 a 9 ＝ 0 ， ∴ a 9 ＝ 0. ∴ 當(dāng) n ＝ 8 或 9 時(shí) ， S n 有最大值 ． 【點(diǎn)撥】 求等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值 ， 常用的方法： ( 1 ) 利用等差數(shù)列的單調(diào)性 ， 求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)； ( 2 ) 利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng) ， 便可求得和的最值； ( 3 ) 將等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 S n ＝ An2＋ Bn ( A ， B 為常數(shù) ) 看作二次函數(shù) ， 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值 ． ( 1) ( 2020 2.∵ d ＞ 0 ， ∴ d ＝ 2 ， ∴ a1＝ a2－ d ＝ 2. 【點(diǎn)撥】 在等差數(shù)列五個(gè)基本量 a1， d ， n ， an， Sn中 ， 已知其中三個(gè)量 ， 可以根據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程( 組 ) 來(lái)求余下的兩個(gè)量 ， 計(jì)算時(shí)須注意整體代換及方程思想的 應(yīng)用 ． ( 1 ) 已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為 a ， 4 ， 3 a ， 前 n 項(xiàng)和為 Sn， 且 Sk＝ 1 1 0 . ( Ⅰ ) 求 a 及 k 的值； ( Ⅱ ) 設(shè)數(shù)列 { bn} 的通項(xiàng) bn＝Snn， 證明數(shù)列 { bn} 是等差數(shù)列 ， 并求其前 n 項(xiàng)和 Tn. 解： ( Ⅰ ) 設(shè)該等差數(shù)列為 { an} ， 則 a1＝ a ， a2＝ 4 ， a3＝ 3 a ， 由已知有 a ＋ 3 a ＝ 8 ， 得 a1＝ a ＝ 2 ， 公差 d ＝ 4 － 2 ＝ 2 ， an＝ 2 n . ∴ Sk＝ ka1＋k （ k － 1 ）2 Sn， 得1Sn ＋ 1－1Sn＝－ 1 ， ∴ 數(shù)列??????????1Sn是以－ 1 為首項(xiàng) ， － 1 為公差的等差數(shù)列 ， ∴1Sn＝－ 1 － ( n － 1) ＝－ n ， Sn＝－1n. 故填－1n. 類(lèi)型一 等差數(shù)列的判定與證明 設(shè)數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ， 若對(duì)于所有的正整數(shù) n ，都有 S n ＝n （ a 1 ＋ a n ）2， 證明 { a n }是等差數(shù)列 ． 證明： 當(dāng) n ≥ 2 時(shí) ， 由題設(shè)知 an＝ Sn－ Sn － 1＝n （ a1＋ an）2－（ n － 1 ）（ a1＋ an － 1）2 ＝12[ a1＋ nan－ ( n － 1 ) an － 1] ， 同理 an ＋ 1＝12[ a1＋ ( n ＋ 1 ) an ＋ 1－ nan] ． 從而 an ＋ 1－ an＝12[( n ＋ 1 ) an ＋ 1－ 2 nan＋ ( n － 1 ) an － 1] ． 整理得 ( n － 1 ) an ＋ 1＋ ( n － 1 ) an － 1＝ 2 ( n － 1 ) an， ∵ n ≥ 2 ， ∴ an ＋ 1＋ an － 1＝ 2 an. 所以 { an} 是等差數(shù)列 ． 【點(diǎn)撥】 判定數(shù)列是等差數(shù)列的方法可參看本節(jié) “ 考點(diǎn)梳理 ” ， 證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列只能用前兩種方法 ， 做客觀題時(shí)可用后兩種方法判斷 ． 已知數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式為 a n ＝ pn2＋ qn ( p ， q ∈R ， 且 p ， q 為常數(shù) ) ． ( 1) 當(dāng) p 和 q 滿(mǎn)足什么條件時(shí) ， 數(shù)列 { a n } 是等差數(shù)列？ ( 2) 求證：對(duì)任意實(shí)數(shù) p 和 q ， 數(shù)列 { a n ＋ 1 － a n } 是等差數(shù)列． 解 ： ( 1 ) 要使 { a n } 是等差數(shù)列 ， 則 a n ＋ 1 － a n ＝ [ p ( n ＋ 1 )2＋ q ( n ＋ 1 )] － ( pn2＋ qn ) ＝ 2 pn ＋ p ＋ q 應(yīng)是一個(gè)與 n 無(wú)關(guān)的常數(shù) ， ∴ 只有 2 p ＝ 0 ， 即 p ＝ 0 時(shí) ， 數(shù)列 { a n } 是等差數(shù)列 ． ( 2 ) 證明： ∵ a n ＋ 1 － a n ＝ 2 pn ＋ p ＋ q ， ∴ a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ 2 p ( n＋ 1 ) ＋ p ＋ q . 又 ( a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ) － ( a n ＋ 1 － a n ) ＝ 2 p 為一個(gè)常數(shù) ， ∴ 數(shù)列 { a n ＋ 1 － a n } 是等差數(shù)列 ． 類(lèi)型二 等差數(shù)列基本量的計(jì)算 例 2. 在等差數(shù)列 { an} 中 ， ( 1 ) 已知 a15＝ 33 ， a45＝ 153 ， 求 an； ( 2 ) 已知 a6＝ 10 ， S5＝ 5 ， 求 Sn； ( 3 ) 已知前 3 項(xiàng)和為 12 ， 前 3 項(xiàng)積為 48 ， 且 d ＞ 0 ，求 a1. 解： ( 1 ) 解法一： 設(shè)首項(xiàng)為 a 1 ， 公差為 d ， 依條件得 ??? 33 ＝ a 1 ＋ 14 d ，153 ＝ a 1 ＋ 44 d ， 解得??? a 1 ＝－ 2
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