【正文】 終身壽險(xiǎn) ?Ax： 對(duì) (x)的 1單位元死亡年年末賠付的終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。 這一現(xiàn)值被稱為這一 保單的 精算 現(xiàn)值 。 ? 非分紅保險(xiǎn) 根據(jù)精算假設(shè)和規(guī)定的保險(xiǎn)金額確定保費(fèi)和現(xiàn)金價(jià)值，投保人不分享公司紅利。 ? 遞增保費(fèi)定期壽險(xiǎn) 的保險(xiǎn)費(fèi)在繳費(fèi)期內(nèi)遞增，在實(shí)踐中常見的遞增保費(fèi)定期壽險(xiǎn)是每年更新定期壽險(xiǎn)。設(shè)聯(lián)合單減因表的存活函數(shù) 聯(lián)合單減因表 39。與生命表一樣，多減因模型通常用多減因表的形式表示，稱為多減因表。 x xxx Ldm ?89 生命表編制的一般方法 xxx Ldm ?xxxxxxxxx qqdldlldm???????2222)(211xxx mmq?? 22xm39。 Dx：某年齡 x歲的死亡人數(shù)； ： x歲的平均人數(shù)，即年初 x歲人數(shù)與年末 x歲人數(shù)的平均數(shù)，有時(shí)也用年中人數(shù)代替。 , 0f x F x x?? )0()Pr()(1)( ????? xxXxFxs)()()()()Pr( zsxsxFzFzXx ??????63 新生兒的生存函數(shù) 生命表函數(shù)中的存活人數(shù) lx 正是生命表基數(shù) l0與 x歲生存函數(shù)之積， lx=l0s(x) 而 s(x)曲線形狀如下圖所示， 64 x歲余壽的生存函數(shù) P r [ ( ) ] ( 0 )txq T x t t? ? ?1 P r [ ( ) ] ( 0 )t x t xp q T x t t? ? ? ? ?以（ x）表示年齡是 x歲的人，（ x）的余壽以 T(x)表示 ? x歲的人在 t時(shí)間內(nèi)存活的概率 tpx 當(dāng) x=0時(shí)， T(0)=X ，正是新生兒未來余壽隨機(jī)變量。 010 0 1x x x x x n xn n m n n nm q m q q q m q p?? ? ? ? ? ? ? ?｜ ｜ ｜ ｜ ｜當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。 當(dāng) x為 0時(shí)，表示出生時(shí)平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數(shù)。 ? ndx：在 x~x+n歲死亡的人數(shù)，當(dāng) n=1時(shí)，簡記為 dx ? nqx： x歲的人在 x~x+n歲死亡的概率，當(dāng) n=1時(shí)，簡記為 qx 56 生命表基本函數(shù) nxnxx ldl ?? ??????100?xxdl111 2 110n x x x x nnxxxx x x xnnxttd d d dqllq q q qq? ? ????? ? ????????? ? ? ? ? ??????? ? ?(1) (2) (3) 57 生命表基本函數(shù) xx x x n x nxdq l d ll ????????? ? ?????? ? ?npx： x~x+n歲的存活概率 ,與 nqx相對(duì)的一個(gè)函數(shù)。 ? 債券定價(jià)原理： 債券的理論價(jià)格就是債券未來息票收入的現(xiàn)值和到期償還值的現(xiàn)值之和。這一基金稱為償債基金，其基金累計(jì)的利率與貸款利率可能相等，也可能不等。 原始貸款金額為 B0 ，第 k 期償還的金額為 Rk （ k=1， 2，?,n） 46 例 一筆金額為 nR 元的貸款，年利率為 i ，期限為 n 年，每年償還 R 元本金，其分期償還表如下： 時(shí)期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還貸款 余額 0 — — — nR 1 R (1+in) i 39。39。139。 定義利息力 δ為， )1ln(11)1(li m]1]1[li mli m11)( imiimimmmmmm????????????????ie ?? 1?故 ， ?? ?? e26 年金 ? 年金：每隔一個(gè)相等的時(shí)間間隔的一系列固定數(shù)額的收付款方式。 13 利息率 ? 利息率 ? 1年內(nèi) 1單位本金的利息就是實(shí)際年利息率 以 表示第 n個(gè)基本計(jì)息時(shí)間單位的實(shí)際利率 )1()1()(1)(??????nAnAnAnainni )0()0()1(1)1(1 AAAai ????14 單利和復(fù)利 ?單利 ：只在本金上生息 ?設(shè)第 t年實(shí)際利率 it， 1年末的累積額為 : ? ?第 2年末的累積額為 : ?當(dāng)各年利率均為 i時(shí)，有 itta ?? 1)()1)(0()0()0()1( 11 iAiAAA ???? 1 2 1 2( 2) ( 0) ( 1 ) ( 0) ( 0) ( 1 )A A i A i A i i? ? ? ? ? ?)1)(0()( itAtA ??15 單利和復(fù)利 ?復(fù)利 ：在本金和利息上生息 ?設(shè)第 t年實(shí)際利率 it， 1年末的累積額為 : ? ?第 2年末的累積額為 : ?當(dāng)各年利率均為 i時(shí)，有 )1)(0()0()0()1( 11 iAiAAA ???? )1)(1)(0()1)(0()1)(0()2( 21211 iiAiiAiAA ???????niAnA )1)(0()( ?? tita )1() ??16 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率 17 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率 ? 在復(fù)利下， tti )1(1???18 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率 ? 在單利下， 19 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率 ? 貼現(xiàn)率：單位貨幣在單位時(shí)間內(nèi)的貼現(xiàn)額，單位時(shí)間以年度衡量時(shí)，成為實(shí)際貼現(xiàn)率。 ? 1848年，英國在世界上最早成立了精算學(xué)會(huì) ? 1889年，美國精算學(xué)會(huì) ? 1892年，法國精算學(xué)會(huì) ? 1895年，國際精算協(xié)會(huì) ? 2023年，中國精算師協(xié)會(huì) 10 第二章 利息理論 11 累積函數(shù) ? 累積函數(shù)是單位本金的累計(jì)額，以 表示。 3 保險(xiǎn)精算學(xué)的基本原理 (1) 要素 ? 未來事件 ? 不確定性 ? 財(cái)務(wù)收支 ? 預(yù)先評(píng)估 (2) 模型和方法 ? 模型：各因素相互關(guān)系的數(shù)學(xué)公式 ? 方法：借助精算模型實(shí)現(xiàn)預(yù)先評(píng)估 (3) 精算假設(shè) ? 對(duì)未來風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生規(guī)律的假設(shè) ? 在過去經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)對(duì)未來的判斷預(yù)先做出 4 基本精算原理 例 ? 按照收支對(duì)等原則 如果 1人投保 1年期 100,000元壽險(xiǎn)，假設(shè) 1年內(nèi)死亡概率 %，在不考慮保險(xiǎn)公司的費(fèi)用、投資收益、利潤的情況下： 保費(fèi) =期望損失 =100,000 3=430元（忽略利息） 5 精算師 ? 精算師被稱為金融、保險(xiǎn)、投資和風(fēng)險(xiǎn)管理的工程師 ? 通過對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和損失的預(yù)先評(píng)價(jià)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)事件做出預(yù)先的財(cái)務(wù)安排，保證風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營的財(cái)務(wù)穩(wěn)健性。在保險(xiǎn)和社會(huì)保障領(lǐng)域，精算科學(xué)通過對(duì)風(fēng)險(xiǎn)事件及其損失的預(yù)先評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)科學(xué)的風(fēng)險(xiǎn)管理，為保險(xiǎn)和社會(huì)保障事業(yè)的財(cái)務(wù)穩(wěn)健發(fā)展提供基本保障。 ? 國際精算協(xié)會(huì)的精算師后續(xù)教育制度 9 精算職業(yè)發(fā)展 ? 1775年，英國的公平人壽社團(tuán)最早將精算師引入保險(xiǎn)領(lǐng)域。 ? 有時(shí)，當(dāng)利息定期結(jié)算時(shí)，也表現(xiàn)為不連續(xù)的階梯函數(shù)，在定期內(nèi)，為常數(shù)，定期結(jié)算后，上一個(gè)臺(tái)階，如圖 23所示。 以 表示， m表示結(jié)算次數(shù)， ()md id???111 mmmdd ]1[1)(???25 利息力 ? 利息力：衡量確切時(shí)點(diǎn)上利率水平的指標(biāo)。 ｜（ nIa) 23( ) 2 3 nnI a n? ? ? ?? ? ? ? ?｜40 變額遞增年金 21( 1 ) ( ) 1 2 3 nni I a n? ? ? ?? ? ? ? ? ?｜21( ) 1 nnnnni I a nan? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????????????? ? ?｜｜inaIannn??? ｜｜??)(dnaaInnn??? ｜｜???? )(兩者相減后得 代入上式后得 上述年金期首付時(shí)，年金現(xiàn)值為 41 變額遞減年金 當(dāng)?shù)谝荒晔崭?n元，以后每隔一年收付額減少一單位元的n年定期遞減的期末付年金為， ianDa nn ｜｜??)(上述定期遞減年金在期首付時(shí)，為 iainaD nn ｜｜???? ??? )1()( 變額年金的終值是相應(yīng)年金現(xiàn)值與利率累積系數(shù)之積 42 等比遞增年金 對(duì)等比遞增的年金，如果第一年 1單位元，以后收付額 每年遞增 j比例， n年定期的年金現(xiàn)值為： 2 2 1 1211 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) 39。 39。 1 39。 ? 每次償還金額為 ? 第 k 期末的未償還本金余額 貸款本金是 B0 ，是 Bk,還款期限為 n 年，每年末還款，年實(shí)際利率為 i 44 等額分期償還表 時(shí)期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還貸款 余額 0 — — — 1 R R(1vn) Rvn … … … … … k R R(1vnk+1) Rvnk+1 … … … … … n R R(1v) Rv 0 總計(jì) nR innR Ra? ｜inRa｜1inRa?｜inkRa?｜0inRa B?｜45 變額分期償還 ? 變額分期償還指每期償還的金額不等的還款方式。 n(n+1)/2 nR 47 償債基金 ? 償債基金的還款方法是借款人在貸款期間分期償還貸款的利息，同時(shí)為了能夠在貸款期末一次性償還貸款的本金，定期向一個(gè) “ 基金 ” 供款，使該 “ 基金 ” 在貸款期末的積累值正好等于貸款本金。附息債券由發(fā)行人在到期日前定期支付利息，投資者可定期獲得固定的息票收入。 55 生命表基本函數(shù) ? lx： 存活到確切整數(shù)年齡 x歲的人口數(shù)， x=0,1,……ω1。 人年數(shù)是表示人群存活時(shí)間的復(fù)合單位， 1個(gè)人存活了 1年是1人年， 2個(gè)人每人存活半年也是 1人年，在死亡均勻分布假設(shè)下， x~x+n歲的死亡人數(shù) ndx平均來說存活了 n/2年，而活到lx+n歲的人存活了 n年，故 當(dāng) n=1時(shí)， 59 ? ： x歲人群的平均余壽，表明未來平均存活的時(shí)間。 ：表示 x歲的人在 x+n~x+n+m歲之間死亡的概率。 新生兒在 x~z歲間死亡的概率，以概率的方式表示為： 新生兒的生存函數(shù) )0()Pr()( ??? xxXxF ? ? ? ?39。? (0≤t≤１ , 0≤y≤１ ,0≤t+y≤１ ) 81 當(dāng)假設(shè)死亡力在 x~x+1上恒定時(shí)， (x為整數(shù)， 0≤t≤1)， 死亡力恒定假設(shè) ?? ??txxttx pdtd ln????0txt dtp e e? ?? ? ???由死亡力的定義， 82 死亡力恒定假設(shè) 2/1?x? tx??1 / 2 lnxx p? ? ??1 / 2 () txt x xt μp e p????若以 表示 ，有 此時(shí)， 83 巴爾杜奇 (Balducci)假設(shè) 以意大利精算師巴爾杜奇的名字命名，這一假設(shè)是當(dāng) x為整數(shù)， 0≤t≤1時(shí)，生存函數(shù)的倒數(shù)是 t的線性函數(shù)，即 )1()()1()(1????? xstxsttxs84 巴爾杜奇 (Balducci)假設(shè) xxxt qttqq)1(1 ???xxyxt qtytqq)1(1 ?????xtxt qtq )1(1 ???? （其中， 0≤ t≤1, 0≤ y≤1, 0≤ t+y≤1 ） 此時(shí)， 85 三種假定下的生命表函數(shù) 函數(shù) 均勻分布 常數(shù)死亡力 Ballucci xtqxt p txy q ?())Tt x x tftp ? ???? ????xtq ute??1 xtq?1 ute?1 (1 )xxptq??xxtqyq1 (1 )xxyqy t q? ? ?xq ue ut??2[1 (1 ) ]xxxpqtq???ute??1t?? xxtqq?1?1 (1 )xxqtq(1 )xxt