自考線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)-全文預(yù)覽
【正文】 時(shí)對(duì)應(yīng)的方程組為(2) ,稱(chēng)為齊次線性方程組 (實(shí)質(zhì)：)結(jié)論：若此時(shí)系數(shù)行列式，則方程組(2)只有零解： (此時(shí) 故有唯一解(即零解) )。方法一：按照行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)后，盡量化為上三角行列式；方法二：經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)后，接近上三角行列式，然后選擇0元素最多的行或者列展開(kāi)。(就是兩個(gè)同型矩陣)五、矩陣的相等定義：同型矩陣與，若對(duì)應(yīng)元素都相等，即，則稱(chēng)這兩個(gè)矩陣相等，記作六、矩陣的加法運(yùn)算1定義：同型矩陣與，由與的對(duì)應(yīng)元素相加所得到的一個(gè)矩陣，稱(chēng)為與的和，記為，即2運(yùn)算法則：(1)交換律 (2) 結(jié)合律 (3) (4)消去律 (5)其中稱(chēng)為的負(fù)矩陣，即,則 七、矩陣的數(shù)乘運(yùn)算：對(duì)于任意一個(gè)矩陣和任意一個(gè)數(shù)，規(guī)定與的乘積為 (每個(gè)元素都與相乘)2運(yùn)算法則：(1) 結(jié)合律：，和為任意實(shí)數(shù)(2) 分配律：，為任意實(shí)數(shù)八、矩陣的乘法運(yùn)算 (, )1．判斷可行性:要求前面矩陣的列數(shù)=后面矩陣的行數(shù) (即)2．如可行，確定新矩陣的行和列 記，則(先宏觀)的行數(shù)等于前面矩陣的行數(shù)，的列數(shù)等于后面矩陣的列數(shù)3．計(jì)算新矩陣中的每一個(gè)元素 其中(后微觀) (前面矩陣取行元素，后面矩陣取列元素，對(duì)應(yīng)相乘再相加) (比喻：前面矩陣行元素看作是觀眾，后面矩陣列元素看作是座位，觀眾到電影院看電影找座位，然后再把他們用膠水粘在一起)九、乘法運(yùn)算的法則1. 一般不滿(mǎn)足交換律，即 定義：若，則稱(chēng)為可交換矩陣2. 3. ，(兩種情況，左分配與右分配)4. ，為任意實(shí)數(shù) 5. 十、方陣的方冪1． 2．, 為任意正整數(shù)注意：方陣的方冪與實(shí)數(shù)域中的運(yùn)算法則相同十一、矩陣的轉(zhuǎn)置：設(shè)矩陣，把矩陣的行與列互換得到的矩陣，稱(chēng)為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，記作或，即1. 2. 3.，為實(shí)數(shù) 4. (交換位置) (對(duì)比：)(定義：若階方陣滿(mǎn)足,則稱(chēng)為正交矩陣)十二、方陣的行列式：由階方陣的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的行列式稱(chēng)為方陣的行列式，記作或，即,如果，則1. 2. 3. (行列式乘法規(guī)則)十三、方陣多項(xiàng)式定義：任意給定一個(gè)多項(xiàng)式和任意給定一個(gè)階方陣，都可以定義一個(gè)階方陣,稱(chēng)為的方陣多項(xiàng)式 (本質(zhì)是個(gè)方陣)(末項(xiàng)是數(shù)量矩陣而不是常數(shù)，方陣多項(xiàng)式是以多項(xiàng)式表示的方陣)十四、逆矩陣的概念 (注意：逆矩陣存在則其唯一)1. 定義：設(shè)是一個(gè)階方陣，若存在一個(gè)階方陣，使得成立，則稱(chēng)是可逆矩陣(或非奇異矩陣),并稱(chēng)方陣為的逆矩陣，記為。對(duì)于任意一個(gè)矩陣，常采用以下兩種特殊的分塊方法(1)(按行分塊)行向量表示法，其中(2)(按列分塊)列向量表示法，其中十八、4種最常用的分塊矩陣的運(yùn)算把矩陣和作同樣的分塊：, , 其中，的行數(shù)=的行數(shù)；的列數(shù)=的列數(shù)，則 數(shù)與分塊矩陣的乘積為 (矩陣中所有元素都與相乘)設(shè)，則其轉(zhuǎn)置矩陣為，式中 (內(nèi)外一起轉(zhuǎn))方陣地特殊分塊矩陣主要有以下三類(lèi):(凡空白處都是零塊)(1)形如的分塊矩陣稱(chēng)為分塊對(duì)角矩陣或準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中均為方陣小結(jié)：若都是可逆矩陣，則分塊對(duì)角矩陣可逆，且= (2)兩個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣的乘積，設(shè)與是同階方陣，則=若對(duì)某個(gè)，與不是同階方陣，則上面的兩個(gè)分塊對(duì)角矩陣不能相乘十九、矩陣的初等變換定義：對(duì)一個(gè)矩陣施行以下三種類(lèi)型的變換，稱(chēng)為矩陣的初等行(列)變換，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換 (用“”連結(jié)變換前后的矩陣)(1)交換的某兩行(列)(2)用一個(gè)非零的數(shù)乘的某一行(列)(3)把中某一行(列)的倍加到另一行(列)上 二十、矩陣的等價(jià) (注意：后面還有矩陣的相似，矩陣的合同)定義：若矩陣經(jīng)過(guò)若干次初等變換變?yōu)椋瑒t稱(chēng)與等價(jià)，記為矩陣之間的等價(jià)關(guān)系有以下三條性質(zhì)(1)反身性 (2)對(duì)稱(chēng)性 若,則(3)傳遞性 若,則 (對(duì)比：矩陣的相似 ，定義為存在可逆矩陣，使得) 二十二、初等矩陣定義： 由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣 (1)交換任意兩行(列)，(2)用一個(gè)非零的數(shù)乘的某一行(列) ，(3)把中某一行(列)的倍加到另一行(列)上 二十四、矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 (注意：后面還有矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形)定義 : 任意一個(gè)矩陣，一定可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換和初等列變換化成如下形式的矩陣：,這是一個(gè)分塊矩陣，其中為階單位矩陣，而其余子塊都是零塊矩陣.稱(chēng)為的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形(對(duì)比：相似標(biāo)準(zhǔn)形，定義為對(duì)于矩陣，存在可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣，則稱(chēng)對(duì)角矩陣為的相似標(biāo)準(zhǔn)形) 定理 ： 對(duì)于
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