高二數(shù)學(xué)充分條件和必要條件-全文預(yù)覽
【正文】 2. 綜上可得： x2＋ px ＋ q ≤ 0 的解集只有一個(gè)元素的充要條件是 p2＝ 4 q . 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 (1)在證明充要條件問題時(shí) ， 通常從“ 充分性 ” 和 “ 必要性 ” 兩個(gè)方面來證明 ． 在證明時(shí) ， 要注意題目給出的格式 ， 若證明 “ p的充要條件是 q” ， 那么 “ 充分性 ” 是 q?p， “ 必要性 ” 就是p? “ p是 q的充要條件 ” ， 則與之相反 ． (2)證明充要條件問題 ， 其實(shí)質(zhì)就是證明一個(gè)命題的原命題和其逆命題都成立 ， 若直接證明不易證明 ，可根據(jù)命題之間的關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換 ， 然后再加以證明 ． 自我挑戰(zhàn) 2 求證：一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0有一正根和一負(fù)根的充要條件是 ac0. 證明： 充分性： ( 由 ac 0 推證方程有一正根和一負(fù)根 ) ∵ ac 0 ， ∴ 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 的判別式 Δ ＝ b2－ 4 ac 0 ， ∴ 方程一定有兩不等實(shí)根， 設(shè)為 x 1 ， x 2 ，則 x 1 x 2 ＝ca0 ， ∴ 方程的兩根異號(hào) ． 即方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有一正根和一負(fù)根 ． 必要性： ( 由方程有一正根和一負(fù)根推證 ac 0) ∵ 方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有一正根和一負(fù)根，設(shè)為x1， x2， 則由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1x2＝ca0 ， 即 ac 0 ， 綜上可知：一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有一正根和一負(fù)根的充要條件是 ac 0. 根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍時(shí)，主要根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式 (組 )進(jìn)行求解． 充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用 例 3 (1)是否存在實(shí)數(shù) m， 使 2x＋ m＜ 0是 x2－ 2x－ 3＞ 0的充分條件 ？ (2)是否存在實(shí)數(shù) m， 使 2x＋ m＜ 0是 x2－ 2x－ 3＞0的必要條件 ？ 【思路點(diǎn)撥】 解答本題可先解出每一個(gè)不等式所對(duì)應(yīng)的集合，然后根據(jù)集合間的包含關(guān)系，求出滿足條件的 m的值 ． 【解】 ( 1) 欲使 2
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