高二數(shù)學充分條件和必要條件-全文預覽
【正文】 2. 綜上可得： x2＋ px ＋ q ≤ 0 的解集只有一個元素的充要條件是 p2＝ 4 q . 【 名師點評 】 (1)在證明充要條件問題時 ， 通常從“ 充分性 ” 和 “ 必要性 ” 兩個方面來證明 ． 在證明時 ， 要注意題目給出的格式 ， 若證明 “ p的充要條件是 q” ， 那么 “ 充分性 ” 是 q?p， “ 必要性 ” 就是p? “ p是 q的充要條件 ” ， 則與之相反 ． (2)證明充要條件問題 ， 其實質(zhì)就是證明一個命題的原命題和其逆命題都成立 ， 若直接證明不易證明 ，可根據(jù)命題之間的關(guān)系進行等價轉(zhuǎn)換 ， 然后再加以證明 ． 自我挑戰(zhàn) 2 求證：一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0有一正根和一負根的充要條件是 ac0. 證明： 充分性： ( 由 ac 0 推證方程有一正根和一負根 ) ∵ ac 0 ， ∴ 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 的判別式 Δ ＝ b2－ 4 ac 0 ， ∴ 方程一定有兩不等實根， 設為 x 1 ， x 2 ，則 x 1 x 2 ＝ca0 ， ∴ 方程的兩根異號 ． 即方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有一正根和一負根 ． 必要性： ( 由方程有一正根和一負根推證 ac 0) ∵ 方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有一正根和一負根，設為x1， x2， 則由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1x2＝ca0 ， 即 ac 0 ， 綜上可知：一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有一正根和一負根的充要條件是 ac 0. 根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍時，主要根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應的兩個集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式 (組 )進行求解． 充分條件、必要條件、充要條件的應用 例 3 (1)是否存在實數(shù) m， 使 2x＋ m＜ 0是 x2－ 2x－ 3＞ 0的充分條件 ？ (2)是否存在實數(shù) m， 使 2x＋ m＜ 0是 x2－ 2x－ 3＞0的必要條件 ？ 【思路點撥】 解答本題可先解出每一個不等式所對應的集合，然后根據(jù)集合間的包含關(guān)系，求出滿足條件的 m的值 ． 【解】 ( 1) 欲使 2
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