【正文】 △ADE≌△CED（SSS）；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠DEF=∠EDF，利用等邊對等角可得出EF=DF，由此即可證出△DEF是等腰三角形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折疊的性質(zhì)可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換以及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性質(zhì)找出∠DEF=∠EDF．18. （2018?江蘇鹽城?10分）如圖，在以線段 為直徑的 上取一點，連接 、 .將 沿 翻折后得到 .（1）試說明點 在 上； （2）在線段 的延長線上取一點 ，使 .求證： 為 的切線； （3）在（2）的條件下，分別延長線段 、 相交于點 ，若 ， ，求線段 的長. 【答案】（1）解：連接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半徑，∴點D在⊙O上?！唷螩ED=∠ABE，∵∠A=∠D=90176?！摺鰾PC沿PC折疊得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90176。11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應(yīng)點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F．（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：△AEB≌△DEC；（2）如圖2，①求證：BP=BF；②當AD=25，且AE＜DE時，求cos∠PCB的值；③當BP=9時，求BE?EF的值．【分析】（1）先判斷出∠A=∠D=90176。3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，點E為線段AB上的動點，將△CBE沿CE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，下列結(jié)論正確的是?、佗冖邸。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）①當E為線段AB中點時，AF∥CE；②當E為線段AB中點時，AF=；③當A、F、C三點共線時，AE=；④當A、F、C三點共線時，△CEF≌△AEF．【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性質(zhì)．【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題；【解答】解：如圖1中，當AE=EB時，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正確，作EM⊥AF，則AM=FM，在Rt△ECB中，EC= =，∵∠AME=∠B=90176。 D．【分析】連接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如圖，利用垂徑定理得到OD⊥AB，則AD=BD=AB=2，于是根據(jù)勾股定理可計算出OD=1，再利用折疊的性質(zhì)可判斷弧AC和弧CD所在的圓為等圓，則根據(jù)圓周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性質(zhì)得AE=DE=1，接著證明四邊形ODEF為正方形得到OF=EF=1，然后計算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 ．【解答】解：連接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如圖，∵D為AB的中點，∴OD⊥AB，∴AD=BD=AB=2，在Rt△OBD中，OD= =1，∵將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D．∴弧AC和弧CD所在的圓為等圓，∴=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四邊形ODEF為正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF= =2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3．故選：B．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理和垂徑定理．二、填空題：14. (2018湖北省武漢∴∠ABP=∠APQ，故②正確；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是鈍角，當△BPC是等邊三角形，即∠BCE=30176?！唷螾AB+∠PBA=90176。）沿EF折疊，使點A落在BC邊的中點A1處，BC=8，那么線段AE的長度為( )．A．4　　　　　　B．5　　　　　C．6　　　　　D．7【解答】解：由折疊的性質(zhì)可得AE=A1E．∵△ABC為等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．∵A1為BC的中點，∴A1B=4，設(shè)AE=A1E=x，則BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5． 故答案為：5．故選B12. （2018廣東∴∠AGH=150176。連接BG，則∠AGB=　75176。﹣2∠2=30176。﹣2∠2=30176。∠2=75176?！唷鱉NH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=．∴∠BDN=60176?！唷螦MN=60176。AB=AC=，由折疊可得：∠MDN=∠A=60176。AC=2+4，點M、將△ANM沿直線MN折疊，使點A的對應(yīng)點D恰好落在線段BC上，當△DCM為直角三角形時，折痕MN的長為　?。窘獯稹拷猓悍謨煞N情況：①如圖，當∠CDM=90176。．在Rt△GHE中，∠HGE=30176?！唷螰GE=∠AFG=60176。進而可得出△GEF為等邊三角形，在Rt△GHE中，通過解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=EC，再由GE=2BG結(jié)合矩形面積為4，即可求出EC的長度，根據(jù)EF=GE=2EC即可求出結(jié)論．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180176。∴BC=3，故選：B．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運用，求出∠AFB=90176。所以可求出∠AFB=90176。又∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF與△CDF中，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，設(shè)FA=x，則FC=x，F(xiàn)D=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，則FD=6﹣x=．故選：B．4. （2018作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根據(jù)S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面積，再利用折疊的性質(zhì)求得所有陰影部分面積．【解答】解：如圖，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90176。11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應(yīng)點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F．（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：△AEB≌△DEC；（2）如圖2，①求證：BP=BF；②當AD=25，且AE＜DE時，求cos∠PCB的值；③當BP=9時，求BE?EF的值．17. （2018遼寧省葫蘆島市) 如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，將△BCE沿BE折疊后得到△BEF、且點F在矩形ABCD的內(nèi)部，將BF延長交AD于點G．若=，則=?。?15. （2018 B．3分）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧上，將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D．若⊙O的半徑為，AB=4，則BC的長是（　?。〢．）沿EF折疊，使點A落在BC邊的中點A1處，BC=8，那么線段AE的長度為( )．A．4　　　　　　B．5　　　　　C．6　　　　　D．712. （2018連接BG，則∠AGB= ?。?、解答與計算題：9. （2018∠2=75176?！螦=60176。3分）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90176。山東青島遼寧省盤錦市）如圖，已知Rt△A