市府-三角函數(shù)與平面向量的綜合應用(1)-全文預覽
【正文】 點T，使得＝－tb (t0)，則|a＋tb|＝||，顯然，當AT⊥OB時，取最小值．由＝(2cos x＋1)cos x＋(－2cos 2x－2)AB，∴AD＝.∴＝＝(a－b)＝a－b.2． 已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x,2cos x)，則函數(shù)f(x)＝a大綱全國)△ABC中，AB邊的高為CD，若＝a，＝b，a天津)在△ABC中，∠A＝90176。(n－m)＝14，求a，b，c的值．解 (1)因為lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0，所以＝≠1，所以sin 2A＝sin 2B且a≠b.因為A，B∈(0，π)且A≠B，所以2A＝π－2B，即A＋B＝且A≠B.所以△ABC是非等腰的直角三角形．(2)由m⊥n，得mn，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cos B＝bcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍．思維啟迪：(1)由向量數(shù)量積的運算轉化成三角函數(shù)式，化簡求值．(2)在△ABC中，求出∠A的范圍，再求f(A)的取值范圍．解 (1)m＝y(tǒng)2－y＋9＝2＋，∴當y＝時，在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1，∴CE＝，則sin∠CEB＝，cos∠CEB＝.而∠CED＝45176。四川改編)如圖，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE＝1，連接EC、ED，則sin∠CED＝________.答案 解析 方法一 應用兩角差的正弦公式求解．由題意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45176。取得最小值時，tan∠DPA的值為________．答案 解析 如圖，以A為原點，建立平面直角坐標系xAy，則A(0,0)，B(3，0)，C(3,2)，D(0,1)，設∠CPD＝α，∠BPA＝β，P(3，y) (0≤y≤2)．∴＝(－3,1－y)，＝(－3，－y)，∴n＝1，求cos的值；(2)記f(x)＝mn＝1，∴sin＝.cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.∴cos B＝，∵0Bπ，∴B＝.∴0A.∴＋，sin∈.又∵f(x)＝sin＋.∴f(A)＝sin＋.故函數(shù)f(A)的取值范圍是.探究提高 (1)向量是一種解決問題的工具，是一個載體，通常是用向量的數(shù)量積運算或性質轉化成三角函數(shù)問題．(2)三角形中的三角函數(shù)要結合正弦定理、余弦定理進行轉化，注意角的范圍對變形過程的影響． 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0.(1)判斷△ABC的形狀；(2)設向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)山東)函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為( )A．2－ B．0 C．－1 D．－1－考點分析 本題考查三角函數(shù)的性質，考查整體思想和數(shù)形結合思想．解題策略 根據(jù)整體思想，找出角x－的范圍，再根據(jù)圖象求函數(shù)的最值．解析 由題意－≤－≤.畫出y＝2sin x的圖象如圖，知，當x－＝－時，ymin＝－.當x－＝時，ymax＝2.故ymax＋ymin＝2－.答案 A解后反思 (1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)可看作由函數(shù)y＝Asin t和t＝ωx＋φ構成的復合函數(shù)．(2)復合函數(shù)的值域即為外層函數(shù)的值域，可以通過圖象觀察得到．典例2：(5分)(2012＝(λ－1)2－λ2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝.答案 B解后反思 (1)利用平面向量基本定理結合向量的線性運算表示向量
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