空間解析幾何簡介-全文預(yù)覽
【正文】 ,)1,1,1( CBA共面 . 解 : 因 0?)17,15,10(DABCD3 4 51 2 29 14 16故 A , B , C , D 四點共面 . ][ ADACAB內(nèi)容小結(jié) 設(shè) 1. 向量運算 加減 : 數(shù)乘 : 點積 : ),( zzyyxx babababa ?????),( zyx aaaa ???? ?zzyyxx babababa ????),(,),(,),( zyxzyxzyx ccccbbbbaaaa ???叉積 : kjixa ya zaxb yb zb??ba混合積 : 2. 向量關(guān)系 : ?xxab ?yyabzzab0??? zzyyxx bababazyxzyxzyxcccbbbaaa?cba ??? )(? ?cba共面cba , 0?zyxzyxzyxcccbbbaaa0)( ??? cba0?? ba第三節(jié) 一、 平面的方程 二、平面的一般方程 三、兩平面的夾角 平面及其方程 定義： 設(shè) 是 中一個平面， 定義如上，則 中與二維子 空間 正交的非零向量稱為平面 的 法向量 ；平面 的 所有法向量添上零向量組成 的一個一維子空間， 中以平面 的法向量為方向向量的直線稱為平面 的法線 。1 aa ?? ?可見 。 若向量 a 與 b大小相等 , 方向相同 , 則稱 a 與 b 相等 , 記作 a＝ b 。 向量法 坐標(biāo) , 方程（組） 空間解析幾何 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算 第一節(jié) 一、向量的概念 二、向量的線性運算 三、空間直角坐標(biāo)系 五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運算 表示法 : 向量的模 : 向量的大小 , 一、向量的概念 向量 : (又稱 矢量 ). 1M2M既有 大小 , 又有 方向 的量稱為向量 向徑 (矢徑 ): 自由向量 : 與起點無關(guān)的向量 . 起點為原點的向量 . 單位向量 : 模為 1 的向量 , 零向量 : 模為 0 的向量 , 有向線段 M1 M2 , 或 a , 規(guī)定 : 零向量與任何向量平行 。 二、向量的線性運算 1. 向量的加法 三角形法則 : 平行四邊形法則 : 運算規(guī)律 : 交換律 結(jié)合律 三角形法則可推廣到多個向量相加 . bbabba ???cba ?? )( )( cba ??? cba ??aaba?ba?s3a4a 5a2a1a54321 aaaaas ?????2. 向量的減法 三角不等式 abaa ?? ?? ?3. 向量與數(shù)的乘法 ? 是一個數(shù) , .a??規(guī)定 : 。 rr M坐標(biāo)軸 : 坐標(biāo)面 : xyzo2. 向量的坐標(biāo)表示 在空間直角坐標(biāo)系下 , ,),( zyxM 則 沿三個坐標(biāo)軸方向的 分向量 . 1 2 3r x e y e z e? ? ?),( zyx?xo yzMNBC1e3eA1 2 3( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 ,1 , 0 ) , ( 0 , 0 ,1 ) , , ,e e e x y z? ? ?以 分 別 表 示 軸 上 的 單 位 向 量設(shè)點 M的坐標(biāo)為 此式稱為向量 r 的 坐標(biāo)分解式 , r?任意向量 r 可用向徑 OM 表示 . NMONOM ?? OCOBOA ??2e四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算 設(shè) ),( zyx aaaa ?? ,),( zyx bbbb ?? 則 ?? ba ?? ),( zzyyxx bababa ????a?? ),( zyx aaa ???,0 時當(dāng) ?? ?a xx ab ??yy ab ??zz ab ???xxab ?yyabzzab平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例 : ，為實數(shù)?五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點間的距離公式 222 zyx ???),( zyxr ??設(shè) 則有 OMr ??xo yzMNQRP由勾股定理得 因 得兩點間的距離公式 : 212212212 )()()( zzyyxx ??????對兩點 與 ,rOM ??作OMr ?? OROQOP ???o yzx2. 方向角與方向余弦 設(shè)有兩非零向量 任取空間一點 O , 稱 ? =∠ AOB (0≤ ?≤ ? ) 為向量 ba ??, 的夾角 . 類似可定義向量與軸 , 軸與軸的夾角 . 與三坐標(biāo)軸的夾角 ? , ? , ? r?? ??為其 方向角 . ?cos rx?? 222 zyxx???方向角的余弦稱為其 方向余弦 . 記作 o yzxr?? ???cos rx?? 222 zyxx????cos ry??222 zyxy????cos rz?? 222 zyxz???方向余弦的性質(zhì) : *三、 向量的混合積 第二節(jié) 一、 兩向量的內(nèi)積 二、 兩向量的向量積 數(shù)量積 向量積 *混合積 1M一、兩向量的內(nèi)積 沿與力夾角為 的直線移動 , ??W1. 定義 設(shè)向量 的夾角為 ? , 稱 記作 內(nèi)積 (點積，數(shù)量積 ) . 引例 . 設(shè)一物體在常力 F 作用下 , 位移為 s , 則力 F 所做的功為 ?c o ssF ?sFW ???2Mba?的與為 baba, s?上的投影為在 ab ??記作 故 ,0, 時當(dāng)同理 ?? ?b2. 性質(zhì) 為兩個非零向量 , 則有 ba?jrPb??ba ba a?jrP?? aa)1(ba ,)2(0??ba ? 0?? ba則0,0 ?? ba3. 運算律 (1) 交換律 (2) 結(jié)合律 )( ba ??)()( ba ?? ? ? ?)( ba ?? ??)( ba ?? ??(3) 分配律 事實上 , 當(dāng) 0?c 時 , 顯然成立 。 P3 PP 31 2 1 2{ | , }PV M M M M P? ? ? ?3 3V 3 P 。設(shè) 是 的一個二維子空間。 ? 當(dāng) A = 0 時 , B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 軸 。 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面 . 1( 0 , , ) ,n B C e??例 2. 求通過 x 軸和點 ( 4, – 3, – 1) 的平面方程 . 解 : 因平面通過 x 軸 , 0?? DA故設(shè)所求平面方程為 0?? zCyB代入已知點 )1,3,4( ?? 得 化簡 ,得所求平面方程 三、兩平面的夾角 設(shè)平面 ∏1的法向量為 平面 ∏2的法向量為 則兩平面夾角 ?
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