【正文】 0 1 2 3 Pk （4）W=V+U顯然W的取值為0，1，……8 P{W=0}=P{V=0 U=0}=0 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}∵ V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能上式中的P{V=0，U=1}=0，又 P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=故 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}= P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1} = P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1} =++= P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2，U=1} = P{X=3 Y=0}+ P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1} + P{X=1，Y=2} =+++= P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2} =P{X=4 Y=0}+ P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3} + P{X=2，Y=2} = P{W=5}= P{V+U=5}=P{V=5, U=0}+ P{V=5，U=1}+P{V=3，U=2} =P{X=5 Y=0}+ P{X=5，Y=1}+P{X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} = P{W=6}= P{V+U=6}=P{V=5, U=1}+ P{V=4，U=2}+P{V=3，U=3} =P{X=5，Y=1}+ P{X=4，Y=2}+P{X=3，Y=3} = P{W=7}= P{V+U=7}=P{V=5, U=2}+ P{V=4，U=3} =P{V=5，U=2} +P{X=4，Y=3}=+= P{W=8}= P{V+U=8}=P{V=5, U=3}+ P{X=5，Y=3}=或列表為 W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 [二十一] 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)b；（2）求邊緣概率密度fX (x)，fY (y)（3）求函數(shù)U=max (X, Y)的分布函數(shù)。（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實(shí)根的概率。解：放回抽樣的情況P {X=0, Y=0 } = P {X=0}j 7．． 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y ）的概率密度為 解：8.[六] 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為x=yy求邊緣概率密度。j ② 不放回抽樣（第1題）XY0101邊緣分布為 X 0 1 Y 0 1 Pi （2）求P {X1, Y3}（3）求P (X} （4）求P (X+Y≤4}分析：利用P {(X, Y)∈G}=再化為累次積分，其中解：（1）∵，∴（2）（3）y（4）6．（1）求第1題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。解：（1）放回抽樣情況由于每次取物是獨(dú)立的。 反函數(shù)存在。 = 00y1時，ψ( y )=[ FY ( y)]39。 反函數(shù)是當(dāng) x0時 y=x2 amp。∵ Y=g (X )= X 3 是X單調(diào)增函數(shù)，又 X=h (Y ) =，反函數(shù)存在，且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞∴ Y的分布密度為： ψ( y)= f [h ( h )]∵ Y的分布函數(shù)為 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y)當(dāng)y0時，F(xiàn)Y ( y)=0當(dāng)y≥0時，F(xiàn)Y ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴ Y的概率密度為：當(dāng)y≤0時：ψ( y)= [FY ( y)]39。設(shè)Y的分布函數(shù)是FY（y），則 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y) =當(dāng)y1時：FY ( y)=0當(dāng)y≥1時：故Y的分布密度ψ( y)是：當(dāng)y≤1時：ψ( y)= [FY ( y)]39。求一螺栓為不合格的概率是多少？設(shè)螺栓長度為X P{X不屬于(－, +) =1－P (－X+) =1－ =1－{φ(2)－φ(－2)} =1－{－} =28.[二十六] 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計）服從參數(shù)為μ=160，σ(未知)的正態(tài)分布，若要求P (120＜X≤200＝=，允許σ最大為多少？∵ P (120＜X≤200)=又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有φ(－x)=1－φ(x)∴ 上式變?yōu)? 解出 再查表，得30.[二十七] 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為： X：－2， －1， 0， 1， 3P：， ， ， ， 求Y=X 2的分布律∵ Y=X 2：(－2)2 (－1)2 (0)2 (1)2 (3)2 P： 再把X 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為：∴ Y： 0 1 4 9 P： 31.[二十八] 設(shè)隨機(jī)變量X在（0，1）上服從均勻分布（1）求Y=eX的分布密度∵ X的分布密度為： Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù)又 X=h (Y)=lnY，反函數(shù)存在且 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1 max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e∴ Y的分布密度為：（2）求Y=－2lnX的概率密度。解不等式，得K≥2時，方程有實(shí)根。他一個月要到銀行5次。[十六] 以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時間（以分計），X的分布函數(shù)是求下述概率：（1）P{至多3分鐘}；（2）P {至少4分鐘}；（3）P{3分鐘至4分鐘之間}；（4）P{至多3分鐘或至少4分鐘}；（5）P{}解：（1）P{至多3分鐘}= P {X≤3} = （2）P {至少4分鐘} P (X ≥4) = （3）P{3分鐘至4分鐘之間}= P {3X≤4}= （4）P{至多3分鐘或至少4分鐘}= P{至多3分鐘}+P{至少4分鐘} = （5）P{}= P (X=)=018.[十七] 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求（1）P (X2), P {0X≤3}, P (2X)；（2）求概率密度fX (x).解：（1）P (X≤2)=FX (2)= ln2， P (0X≤3)= FX (3)－FX (0)=1，（2）20.[十八（2）]設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為（1）（2）求X的分布函數(shù)F (x)，并作出（2）中的f (x)與F (x)的圖形。此概率太小，按實(shí)際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。（1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且彼此投籃也獨(dú)立。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實(shí)的，試求Y的分布律。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。（此時稱Y服從以r, p為參數(shù)的巴斯卡分布。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個。解：記AAA3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，BBB3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。）解：設(shè)D表示輸出信號為ABCA，BBB3分別表示輸入信號為AAAA，BBBB，CCCC，則BBB3為一完備事件組，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3?！? + +=P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)==又因： A=H1A+H2A+H3A 三種情況互斥故由全概率公式，有P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =++1=36.[三十三]設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。求飛機(jī)被擊落的概率?！? A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4獨(dú)立)34.[三十一] 袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）?！? A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1，A2， A3， A4，A5互相獨(dú)立。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設(shè)A=“乘地鐵”，B=“乘汽車”，C=“5:45~5:49到家”，由題意,AB=φ,A∪B=S已知：P (A)=, P (C|A)=, P (C|B)=, P (B)=由貝葉斯公式有29.[二十四] 有兩箱同種類型的零件。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，顯然A1∪A2=S，A1 A2=φ由已知條件知由貝葉斯公式，有[二十二] 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。記A1，A2分別表第一、二次取得正品。 P(|AB)==.21.[十七] 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。 y = 1,2,3,4,5,6}}每種結(jié)果均可能A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個為“1”點(diǎn)”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。這種鉚法有種17.[十三] 已知。法一：用古典概率作：把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件（在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。(從3個球中選2個球，選法有，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。取法有15.[十一] 將三個球隨機(jī)地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？記Ai表“杯中球的最大個數(shù)為i個” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。200個產(chǎn)品恰有90個次品，取法有種∴ （2）至少有2個次品的概率。在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。又事件A相當(dāng)于：有一人號碼為5，其余2人號碼大于5。后四個數(shù)全不同的排法有∴ 10.[六] 在房間里有10人。解：P (A，B，C至少有一個發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)= 8.[五] 在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞”∵ 從26個任選兩個來排列，排法有種。故 表示為：（8）A，B，C中至少有二個發(fā)生。表示為： 或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一個發(fā)生 表示為：A+B+C（4）A，B，C都發(fā)生， 表示為：ABC（5）A，B，C都不發(fā)生， 表示為：或S－ (A+B+C)或（6）A，B，C中不多于一個發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個同時不發(fā)生相當(dāng)于中至少有一個發(fā)生。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。（[一] 2）S={10，11，12，………，n，………}（4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。表示為： 或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。相當(dāng)于：中至少有一個發(fā)生。7