【正文】 擊幾發(fā)，求他恰好命中兩發(fā)的概率。） 一般地 X Pk Y=g(X) ?????? kxxx 21?????? kppp 21?????? )()()( 21 kxgxgxg二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù) 一般方法 (p56) 若 X~f(x), ? x +?, Y=g(X)為隨機(jī)變量 X 的函數(shù)，則可先求 Y的分布函數(shù) FY (y) ＝ P{Y?y}＝ P {g(X) ?y}＝ ?? y)x(g dx)x(fdyydFyf YY)()( ?然后再求 Y的密度函數(shù) 此法也叫“ 分布函數(shù)法” 例 X?U(1,1),求 Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。 .,21)( 22????????xexx??分布函數(shù)表示為 ??????????? ???xdtexXPxxt,}{)(2212?其 密度函數(shù) 表示為 一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱 ?(x)的值。)(ttetFtf t??正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上 研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特 別重要的地位。記作 X~U(a, b) 對(duì)任意實(shí)數(shù) c, d (acdb)， 都有 例 .長(zhǎng)途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的 10分、 25分、 55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過(guò) 10分鐘的概率 }6055{}4525(}1510{)( ????????? XPXPXPAP15 45 解：設(shè) A—乘客候車時(shí)間超過(guò) 10分鐘 X—乘客于某時(shí) X分鐘到達(dá)，則 X?U(0,60) 21605205 ????2. 指數(shù)分布 (p36) 若 X～ ?????? ??0x,00x,e)x(f x＝則稱 X服從參數(shù)為 ?0的 指數(shù)分布。當(dāng) x1時(shí) ,F(x)=1 當(dāng) 0≤x≤1時(shí) , kxxXPxF ???? }0{)(特別 ,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1 用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀， 對(duì)非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法 ？ a b ?}{ ??? bXap 連續(xù)型隨機(jī)變量 一、概率密度 1. 定義 (p33) 對(duì)于隨機(jī)變量 X， 若存在非負(fù)函數(shù) f(x)， (?x+?)， 使對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 都有 ? ??? x duufxXPxF )()()( ＝＝則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為 X的 概率密度函數(shù) ，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù) . 常記為 X～ f(x) , (?x+?) 密度函數(shù)的 幾何意義 為 ??? ba du)u(f)bXa(P ＝2. 密度函數(shù)的性質(zhì) (p34) (1) 非負(fù)性 f(x)?0， (?x?)； (2)歸一性 .1)( ＝? ???? dxxf性質(zhì) (1)、 (2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)； xaexf ??)(設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 求常數(shù) a. 答 : 21?a(3) 若 x是 f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則 )()( xfdx xdF ?設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 求 f(x) ??????????0211021)(xexexFxx（ 4） 對(duì)任意實(shí)數(shù) b， 若 X～ f(x)， (?x?)， 則 P{X=b}＝ 0。1)x(Fl i m)(F,0)x(Fl i m)(F xx ???????? ??????).x(F)x(Flim)0x(F 0xx00??? ?? 右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 ? ? 23}1{}0{1),(~ ??????? eXPXPXPpX 且??}2{}1{}0{1}3{ ???????? XPXPXPXP!22!121 222212 ??????? ???? eeee解 :由題意 , 23 2 ???? ??? ?? ?? eee例 6. 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) ， 每次成功的概率為 p， 令 X表示直到出現(xiàn)第 m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù) ，求 X的分布律 。 解：設(shè) Ai? 第 i次射擊時(shí)命中目標(biāo)， i=1,2,3,4,5 則 A1,A2,… A5,相互獨(dú)立且 P(Ai)=p,i=1,2,… 5. SX={0,1,2,3,4,5}, (1p)5 ??? )(}0{54321 AAAAAPXP.. .{}1{ 5432154321 ?? AAAAAAAAAAPXP ?? 4)1(5 pp ??5,. .. ,1,0)1(}{ 55 ???? ? kppCkXP kkk??? .. .{}2{ 5432154321 ?? AAAAAAAAAAPXP 3225 )1( PPC ?可表為 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) ， 或 … ~XX x1 x2 … xK … Pk p1 p2 … pk … (1) pk ? 0, k＝ 1, 2, … 。 )() .. ..(1).. .{ 121 nn APAPAAAP ?????設(shè) AL至 R為通路 ,Ai第 i個(gè)繼電器通 ,i=1,2,…5 )()|( 52413 AAAAPAAP ??422 pp ??)})({()|( 54213 AAAAPAAP ???)()()|( 54213 AAPAAPAAP ???22 )2( pp ??由全概率公式 )()|()()|()( 3333 APAAPAPAAPAP ?? 5432 2522 pppp ????EX1:一個(gè)學(xué)生欲到三家圖書館借一本參考書．每家圖書館購(gòu)進(jìn)這種書的概率是 1/2，購(gòu)進(jìn)這種書的圖書館中該書被借完了的概率也是 1/2．各家圖書館是否購(gòu)進(jìn)該書相互獨(dú)立．問(wèn)該學(xué)生能夠借到書的概率是多少？ 第一章 小結(jié) 本章由六個(gè)概念（隨機(jī)試驗(yàn)、事件、概率、條件概率、獨(dú)立性），四個(gè)公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式）和一個(gè)概型（古典概型）組成 第二章隨機(jī)變量 ? 離散型隨機(jī)變量 ? 隨機(jī)變量的分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機(jī)變量 ? 一維 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 ? 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 ? 多維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性 ? 條件分布 ? 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 關(guān)于隨機(jī)變量 (及向量 )的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)?，?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問(wèn)題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量．也可以說(shuō)：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是 隨機(jī)變量 (p24)定義 . 設(shè) S={e}是試驗(yàn)的樣本空間，如果量 X是定義在 S上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對(duì)于每一個(gè) e?S，有一實(shí)數(shù) X=X(e)與之對(duì)應(yīng)，則稱 X為 隨機(jī)變量 。 式 ()等價(jià)于： P(AB)＝ P(A)P(B) () 從一付 52張的撲克牌中任意抽取一張，以 A表示抽出一張 A，以 B表示抽出一張黑桃，問(wèn) A與 B是否獨(dú)立？ 定理、 以下四件事等價(jià)： (1)事件 A、 B相互獨(dú)立； (2)事件 A、 B相互獨(dú)立； (3)事件 A、 B相互獨(dú)立； (4)事件 A、 B相互獨(dú)立。 由于信道中存在干擾 ， 在發(fā) 0的時(shí)候 ， 接收端分別以概率 、 0、 1和 “ 不清 ” 。 買到一件丙廠的產(chǎn)品買到一件乙廠的產(chǎn)品買到一件甲廠的產(chǎn)品：買到一件次品設(shè)：:::321AAAB)()|()()|()()|( 332211 APABPAPABPAPABP ??? ???????)()()()( 321 BAPBAPBAPBP ???定義 (p17)事件組 A1， A2， … ， An (n可為 ?)，稱為樣本空間 ?的一個(gè)劃分 ，若滿足： 1( ) 。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。 B取到 的數(shù)能被 3整除 21)( ?AP 103)( ?BP故 )()()()()1( ABPBPAPBAP ????101)( ?ABP107?)(1)()2( BAPBAP ?? ??103?)()()()3( ABPAPBAP ???52? 袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球 (不放回 )，問(wèn) 第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？ 第 二 個(gè)人取得紅球的概率是多少？ 條件概率 若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？ 已知事件 A發(fā)生的條件下， 事件 B發(fā)生的概率稱為 A條件下 B的條件概率，記作 P(B|A) 若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？ 一、條件概率 例 1 設(shè)袋中 有 3個(gè)白球， 2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意 抽取兩次，每次取一 個(gè) ，取后不放回， （ 1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率 。 ? P(1013) (1) 有限 可加性 ： 設(shè) A1， A2， …A n , 是 n個(gè)兩兩互不相容的事件，即 AiAj＝ ? ， (i?j), i , j＝ 1, 2, …, n ,則 有 P( A1 ? A2 ? … ? An)＝ P(A1) ＋ P(A2)+… P(A n)。 解 :設(shè) A:每組有一名運(yùn)動(dòng)員 。 有重復(fù)排列：從含有 n個(gè)元素的集合中隨機(jī) 抽取 k 次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果 后放回，將記錄結(jié)果排成一列， n n n n 共有 nk種排列方式 . 無(wú)重復(fù)排列：從含有 n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取 k 次， 每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列， 共有 Pnk=n(n1)… (nk+1)種排列方式 . n n1 n2 nk+1 組合：從含有 n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取 k 個(gè)， 共有 種取法 . )!(!!! knknkPknCknkn????????????抽球問(wèn)題 例 1:設(shè)合中 有 3個(gè)白球， 2個(gè)紅球，現(xiàn)從合中任 抽 2個(gè) 球，求取到一紅一白的概率。 ：（公認(rèn)） P(e1)=P(e2)=…=P(e n). 則稱 E為古典概型也叫 等可能 概型。 ?三、事件之間的關(guān)系 既然事件是一個(gè)集合，因此有關(guān)事件間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則也就按集合間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則來(lái)處理。 E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況； E3:某城市某年某月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)； E4:擲一顆骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)； E6:在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命 。 隨機(jī)試驗(yàn)常用 E表示 E1: 拋一枚硬幣，分別用“ H” 和“ T” 表示出正面和反面 。 : 必然事件 S 、不可能事件 ?.(p3) 例如 對(duì)于試驗(yàn) E2 ，以下 A 、 B、 C即為三個(gè) 隨機(jī)事件 : A＝“ 至少出一個(gè)正面” ＝ {HHH, HHT, HTH, THH， HTT， THT， TTH}； B = “兩次出現(xiàn)同一面” ={HHH,TTT} C=“恰好出現(xiàn)一次正面” ={HTT， THT， TTH} 再如， 試驗(yàn) E6中 D＝“ 燈泡壽命超過(guò) 1000小時(shí)” ＝ {x:1000xT(小時(shí)） }。五、事件的運(yùn)算 (p5) 交換律： A?B＝ B?A， AB＝ BA 結(jié)合律 ： (A?B)?C＝ A?(B?C)， (AB)C＝ A(BC) 分配律 ： (A?B)C＝ (AC)?(BC)， (AB)?C＝ (A?C)(B?C) 對(duì)偶 (De Man)律 ： .,???????kkkkkkkk AAAABAABBABA????可推廣例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以 A、B、 C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用 A、 B、 C