【正文】 （3）Fu (ω)=P {U ≤ u}=P {)=P {X ≤ u, Y ≤ u} =F (u, u)= u0, FU (u) = 0第四章2.[二] ，檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次。將一只球裝入與球同號的盒子中，稱為一個(gè)配對，記X為配對的個(gè)數(shù)，求E(X )解：引進(jìn)隨機(jī)變量 i=1, 2, … n 則球盒對號的總配對數(shù)為Xi的分布列為Xi:10P: i=1, 2 …… n∴ i=1, 2 …… n14.[十五] 共有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開門上的鎖，用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖。設(shè)W=X+Y+Z 求E (W )，D (W )。 ，于是U－V～N (0, 2)而 =2－1=[九] 某種電子器件的壽命（小時(shí)）具有數(shù)學(xué)期望μ（未知），方差σ2=400 為了估計(jì)μ，隨機(jī)地取幾只這種器件，在時(shí)刻t=0投入測試（設(shè)測試是相互獨(dú)立的）直到失敗，測得其壽命X1，…，Xn，以作為μ的估計(jì)，為使問n至少為多少？解：由中心極限定理知，當(dāng)n很大時(shí) = 所以查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知即n至少取1537。（5）為未知參數(shù)。且必須至少有80%部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作。3176。3176。試求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望。解：（1）X的概率密度為y=x2Y的概率密度為1xDyo且知X, Y相互獨(dú)立，于是（X，Y）的聯(lián)合密度為（2）由于a有實(shí)跟根，從而判別式 即： 記 23． 設(shè)某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為并設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，試求（1）兩周（2）三周的需要量的概率密度。 （2）求第2題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。 ∴ Y～ fY (y) = － =法二： ∴ Y～ fY (y) =34.[三十一] 設(shè)X的概率密度為求Y=sin X的概率密度?！? Y= g (X)=－2lnX 是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。[九] 有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率（2）需作第二次檢驗(yàn)的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個(gè)數(shù)，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B（10，），Y~B（5，）（近似服從）（1）P {X=0}=≈（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=（3）P {Y=0}= 5≈（4）P {0X≤2，Y=0} ({0X≤2}與{ Y=2}獨(dú)立) = P {0X≤2}P {Y=0} =（5）P {X=0}+ P {0X≤2，Y=0} ≈+=12.[十三] 電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率法一： （直接計(jì)算）法二： P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類推，依題意有P (A收| A發(fā))= P (B收| B發(fā))= P (C收| C發(fā))=α，P (A收| B發(fā))= P (A收| C發(fā))= P (B收| A發(fā))= P (B收| C發(fā))= P (C收| A發(fā))= P (C收| B發(fā))=又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A發(fā)) P (B收| A發(fā)) P (C收| A發(fā)) P (A收| A發(fā)) =，同樣可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =于是由全概率公式，得由Bayes公式，得P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = =[二十九] 設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍(lán)球，3只綠球，4只白球。故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4] +[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5[二十六（1）]設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4。記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。則，故20.[十六] 據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P{孩子得病}=，P (B|A)=P{母親得病|孩子得病}=，P (C|AB)=P{父親得病|母親及孩子得病}=。對A3：必須三球都放入一杯中。這種組合的種數(shù)有∴ （2）求最大的號碼為5的概率。故 表示為：。（7）A，B，C中不多于二個(gè)發(fā)生。記“三人中最大的號碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有種，且每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有種 11.[七] 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。放法有4種。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。 C2為“從第一盒子中取得2只白球”。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。 = －=（2）每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0 β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞∴ Y的分布密度為：32.[二十九] 設(shè)X～N（0，1）（1）求Y=eX的概率密度∵ X的概率密度是 Y= g (X)=eX 是單調(diào)增函數(shù)又 X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞∴ Y的分布密度為：（2）求Y=2X2+1的概率密度?！?FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y)當(dāng)y0時(shí)：FY ( y)=0當(dāng)0≤y≤1時(shí)：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =當(dāng)1y時(shí)：FY ( y)=1∴ Y的概率密度ψ( y )為：y≤0時(shí)，ψ( y )=[ FY ( y)]39。2解：（1）① 放回抽樣（第1題）XY0x+y=4110xo1邊緣分布律為 X 0 1 Y 0 1 Pi解：（1）設(shè)第一周需要量為X，它是隨機(jī)變量 設(shè)第二周需要量為Y，它是隨機(jī)變量且為同分布，其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨(dú)立性可知：∵ z≥0∴ 當(dāng)z0時(shí)，fz (z) = 0當(dāng)z0時(shí)，由和的概率公式知∴ （2）設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為 設(shè)ξ表示第三周需要量，其概率密度為：z與ξ相互獨(dú)立η= z +ξ表示前三周需要量則：∵η≥0， ∴當(dāng)u0， fη(u) = 0 當(dāng)u0時(shí)所以η的概率密度為30． 設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，20）分布。解：一臺設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為故設(shè)Y表示出售一臺設(shè)備的凈贏利則 故 11.[十一] 某車間生產(chǎn)的圓盤直徑在區(qū)間（a, b）服從均勻分布。)（2）首先證于是（3） 23．[二十五] 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布為：XY－101－1001驗(yàn)證：X和Y不相關(guān)，但X和Y不是相互獨(dú)立的。有D (Y )=22 D (X1 )+ (－1)2 D (X2 )+32 D (X3 )+()2 D (X4 )=（2）根據(jù)有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，知Z1～N（解：（1）設(shè)每個(gè)部件為Xi (i=1,2,……100)設(shè)X是100個(gè)相互獨(dú)立，服從（0－1）分布的隨機(jī)變量Xi之和X=X1+ X2+……+ X100由題設(shè)知 n=100 P {Xi=1}=p=, P {Xi=0}= E (Xi ) =p= D (Xi ) =p (1－p)== n解：（1），得（2）（5）E (X) = mp 令mp = 。從而U，V獨(dú)立。），Z2～N（EY = (－1)(－1) +(－1)1+1(－1)+11=0∴ X，Y是不相關(guān)的27．已知三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z中，E (X )= E (Y )=1, E (Z )=－1，D (X )=D (Y )=D (Z )=1, ρXY=0 ρXZ=，ρYZ=－。解：設(shè)X為圓盤的直徑，則其概率密度為用Y表示圓盤的面積，則12.[十三] 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2的概率密度分別為求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3)；（2）又設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，求E (X1X2)解：（1） = （2） = （3）13.[十四] 將n只球（1～n號）隨機(jī)地放進(jìn)n只盒子（1～n號）中去，一只盒子裝一只球。解：設(shè)X1，X2，X3，X4為4只電子管的壽命，它們相互獨(dú)立，同分布，其概率密度為：設(shè)N=min{X1，X2，X3，X 4} P {N180}=P {X1180, X2180, X3180, X4180} =P {X180}4={1－p[X180]}4= ()4=27.[二十八] 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY01234501230（1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0}（2）求V=max (X, Y )的分布律（3）求U = min (X, Y )的分布律解：（1）由條件概率公式P {X=2|Y=2}= = =同理 P {Y=3|X=0}=（2）變量V=max{X, Y }顯然V是一隨機(jī)變量，其取值為 V：0 1 2 3 4 5P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1} =++=P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2} +P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =++++=P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3} +P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2} =++++++=P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3} =+++=P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ …… + P {X=5，Y=3} =+++=（3）顯然U的取值為0，1，2，3 P {U=0}=P {X=0，Y=0}+……+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}+ …… + P {Y=0，X=5}=同理 P {U=1}= P {U=2}= P {U=3}=或縮寫成表格形式（2） V 0 1 2 3 4 5 Pk 0 （3） U 0 1 2 3 Pk （4）W=V+U顯然W的取值為0，1，……8 P{W=0}=P{V=0 U=0}=0 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}∵ V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能上式中的P{V=0，U=1}=0，又 P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=故 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}= P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1