【正文】 ，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，最大的號(hào)碼為Y.（1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2） X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表YX345120300(2) 因故X與Y不獨(dú)立（X，Y）的聯(lián)合分布律為XY2 5 8 （1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2） X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XY258P{Y=yi}(2) 因故X與Y不獨(dú)立.，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2） 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率.【解】（1） 因 故 題14圖(2) 方程有實(shí)根的條件是故 X2≥Y，從而方程有實(shí)根的概率為： （以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1) 當(dāng)z≤0時(shí)，（2） 當(dāng)0z1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y=）(如圖a) 題15圖(3) 當(dāng)z≥1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，x=103z）（如圖b） 即 故 （以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，202） 只，求其中沒(méi)有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202），從而 ，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=，i=0，1，2，….【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以 于是 ，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，…，2n. 方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn。由X~N（220，252）知 由全概率公式有由貝葉斯公式有（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度f(wàn)Y(y).【解】因?yàn)镻（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1當(dāng)y≤e2時(shí)FY（y）=P(Y≤y)=0. 當(dāng)e2ye4時(shí)， 當(dāng)y≥e4時(shí)，即 故 fX(x)=求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y). (1995研考)【解】P（Y≥1）=1當(dāng)y≤1時(shí)，當(dāng)y1時(shí)， 即 故 fX(x)=,求Y=1的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 （t）服從參數(shù)為λt的泊松分布.（1） 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；（2） 求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下，再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.（1993研考）【解】（1） 當(dāng)t0時(shí)，當(dāng)t≥0時(shí)，事件{Tt}與{N(t)=0}等價(jià)，有即 即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。~N（0，σ2），問(wèn)：當(dāng)σ取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？【解】因?yàn)? 利用微積分中求極值的方法，有 得,則 又 故為極大值點(diǎn)且惟一。(x)不是密度函數(shù)。選（C）[a,b]上，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間 [a,b]等于（ ）(A) [0,π/2]。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。從而③亦為0。,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 （小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥，允許σ最大不超過(guò)多少？【解】 故 F（x）=（1） 求常數(shù)A，B；（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}；（3） 求分布密度f(wàn)（x）.【解】（1）由得（2） (3) f（x）=求X的分布函數(shù)F（x），并畫(huà)出f（x）及F（x）.【解】當(dāng)x0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x1時(shí) 當(dāng)1≤x2時(shí) 當(dāng)x≥2時(shí)故 （1） f(x)=ael|x|,λ0。（2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b（3，）,Y~b(3,)(1) + (2) =，(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則X~b(200,)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N(xiāo)條跑道，則有即 利用泊松近似查表得N≥.，每天有大量汽車(chē)通過(guò)，,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車(chē)通過(guò)，問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b（1000，） {X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則故 所以 .，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1） 進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2） 進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】（1） 設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，）(2) 令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，）（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.（1） 求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒(méi)收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2) {X=k}=, k=0,1,2P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4分別為隨機(jī)變量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，試求P{Y≥1}.【解】因?yàn)?，?而 故得 即 從而 ，試求在這2000冊(cè)書(shū)中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書(shū)中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則X~b(2000,).利用泊松近似計(jì)算,得 ，成功的概率為，試寫(xiě)出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，：（1） 保險(xiǎn)公司虧本的概率。把取2nr次火柴視作2nr重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為式中2反映B1與B2盒的對(duì)稱(chēng)性（即也可以是B2盒先取空）.（2） 前2nr1次取火柴，有n1次取自B1盒，nr次取自B2盒，第2nr次取自B1盒，故概率為51.求n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】 以上兩式相減得所求概率為若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得.，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值.【解】因?yàn)椋ˋ∪B）∩（∪）=A∪B（∪B）∩（A∪）=AB∪所求 