【正文】 從 泊 松 分 布 ， 且 一 天 內(nèi) 發(fā) 生 一 次X交 通 事 故 的 概 率 與 發(fā) 生 兩 次 交 通 事 故 的 概 率 相 等 ， 求 一 周 內(nèi) 沒 有 交 通 事 故 發(fā) 生 的概 率 .解：設(shè) ，由題意： = ， ，解得 ，~()XP?)1(?)2(P2!1????e?所求的概率即為.202!)(???e11 . 一臺(tái)儀器在 10000 個(gè)工作時(shí)內(nèi)平均發(fā)生 10 次故障，試求在 100 個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障不多于兩次的概率.解：設(shè) 表示該儀器在 100 個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障發(fā)生的次數(shù)， ，所X 1~(0,)X?求的概率即為 ， ， 100 個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障平均)0(?P)1(X)2(?P次數(shù)為 ，根據(jù) Poisson 分布的概率分布近似計(jì)算如下：?.1?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答15..!2!1!0)2( ????????????eeXP故該儀器在 100 個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障不多于兩次的概率為 . ，現(xiàn)對 進(jìn)行三次獨(dú)立觀察，試求至少有兩次觀察值大于 的概率.??~2,5XUX 3解： ，令 ，則 ，令 表示三次重復(fù)獨(dú)??1 ,30xfx??????其 余 ??3A????23pPA?Y立觀察中 出現(xiàn)次數(shù)，則 ，故所求概率為A2~,YB??????.??21303 27PC????????????????，已知此種傳染病的發(fā)病率為 2/3，求在 50 頭已感染的羊群中發(fā)病頭數(shù)的概率分布律.解：把觀察一頭羊是否發(fā)病作為一次試驗(yàn)，發(fā)病率 ，不發(fā)病率 ，3/2?p3/1?q由于對 50 頭感染羊來說是否發(fā)病，可以近似看作相互獨(dú)立，所以將它作為 50 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，設(shè) 50 頭羊群中發(fā)病的頭數(shù)為 ，則 ， 的分布律為X(50,/)B:X??,213250 ??????????kCkPk 隨 機(jī) 變 量 的 密 度 函 數(shù) 為 ， 用 表 示 對 的X, 0()xxp????其 它 YX3 次 獨(dú) 立 重 復(fù) 觀 察 中 事 件 出 現(xiàn) 的 次 數(shù) ， 求 . 1{}2?{2}P?解 ： ， ， 由 二 項(xiàng) 概 率 公 式(3,)Yp?:1204PXxd??.239{}()46C 知 的 概 率 密 度 為 ， 試 求 ：X2,00xaefx????????概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答16（ 1） 、 未 知 系 數(shù) ； （ 2） 、 的 分 布 函 數(shù) ； （ 3） 、 在 區(qū) 間aX()FxX內(nèi) 取 值 的 概 率 .(0,)?解：（1）由 ，解得 ?????021dxea?.2?a (2) ，∴當(dāng) x≤0 時(shí) ,當(dāng) x0 時(shí)，())()FxPXf?????? 0)(?F,2201(xxead????∴ .2(),0(), xF???????（3） .51(0)()(012PXFe???? 在 內(nèi) 服 從 均 勻 分 布 ， 求 方 程 有 實(shí) 根 的 概 率 . ,6 10xX??解: “方 程 有 實(shí) 根 ”即 ， 故 所 求 的 概 率 為 =210x?{}?{2}PX?.45 隨 機(jī) 變 量 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 且 服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布X2(,)NaYaXb??， 求 . (0,)N,ab解：由題意 20()1a???????解 得 ： 1,ab?? 知 隨 機(jī) 變 量 服 從 參 數(shù) 為 的 指 數(shù) 分 布 ， 且 落 入 區(qū) 間 （ 1， 2） 內(nèi)X?X的 概 率 達(dá) 到 最 大 ， 求 . ? 解： ,令 ，即2(12)(1)()()PPeg??????令 ()0???,即 ，0???e0??e∴ .2ln概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答1719．設(shè)隨 機(jī) 變 量 ， 求 ， .(1,4)XN:()PX??(1)P?解 ： 0.()2P???? .()()??.1()052X ，在 電壓三種情形下，??2~,N0,240,2XX????電子元件損壞的概率分別為 ，求：,.（1）該電子元件損壞的概率 ；?（2）該電子元件損壞時(shí)，電壓在 伏的概率 .2~40?解：設(shè) ， 電子元件損壞，??????1230, ,240AXXAX???????D—?jiǎng)t（1） 完備，由全概率公式123,?，??????123123DPAPAPA? ?????????????????????今 ，?????????同理 ，?????...576?， 從而 .310..????02PD??（2）由貝葉斯公式.??222PAD?????????????.?? 機(jī) 變 量 的 分 布 律 為X－ 2 － 1 0 1 3P5650求 的 分 布 律2Y?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答18 解 ：. 量 服 從 參 數(shù) 為 的 0－ 1 分 布 ， 求 及 的 概 率 分 布 .X2X?解 ． 的 分 布 為易 見 ， 的 可 能 值 為 0 和 1； 而 的 可 能 值 為 和 0， 由 于2X2X?1?2{}PXu?{P}u?， 可 見 的 概 率 分 布 為 ：(0,1)2由 于 ， ， 可 得2{1}{???2{0}{???的 概 率 分2 布 為23. 概率密度函數(shù)為 ， 求 的 概 率 密 度 函 數(shù) .X21())Xfx???YX?()Yfy 解： 的反函數(shù)為 ，代入公式得 . yx?y 2()()2(4)YXyffy???? ，求隨機(jī)變量 在 內(nèi)概率密度 .??~0,2XU2???0,4??Yf解法一（分布函數(shù)法） 當(dāng) 時(shí)， 時(shí) ，當(dāng) 時(shí)，y???,YFy?1YFy?04y???YXFyP??從而 ??1 ,04240 XYfyyfy???????其 余20 1 4 9P15351300 1P 0 1 ?1 0 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答19解法二（公式法） 在 單增，由于反函數(shù) 在 可導(dǎo)，2yx???0, xy???0,4，從而由公式得139。k()n?解 ： 所求的概率為 190knkknC????????33． 燈 泡 使 用 壽 命 在 1000h 以 上 的 概 率 為 ， 求 3 個(gè) 燈 泡 在 使 用 1000h后 ， 最 多 只 有 一 個(gè) 壞 了 的 概 率 。解：設(shè) {第一次取得次品}， {第二次取得正品}，則?A?B{第二次才取得正品 }，又因?yàn)?，則B 90)(,10)(?ABP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答5)()( ??ABPA 隨 機(jī) 變 量 、 、 兩 兩 獨(dú) 立 ， 與 互 不 相 容 . 已 知CB0)(2??CPB且 ， 求 .5(8?()?解 ： 依 題 意 且 ， 因 此 有 . 又 因?AB)((BPA0)(?AP， 解 方 程25()())3[]8PCPC???0853][2?，11()[()]()42B??舍 去， ()()()?????17． 設(shè) 是 小 概 率 事 件 ， 即 是 給 定 的 無 論 怎 么 小 的 正 數(shù) .試 證 明 ：A?當(dāng) 試 驗(yàn) 不 斷 地 獨(dú) 立 重 復(fù) 進(jìn) 行 下 去 ， 事 件 遲 早 總 會(huì) 發(fā) 生 （ 以 概 率 1 發(fā) 生 ） .解 ： 設(shè) 事 件 —第 次 試 驗(yàn) 中 出 現(xiàn) ，∵i A(1,2,)in??， ，∴ 次 試 驗(yàn) 中 ， 至 少 出 現(xiàn) 一 次 的 概 率(),()1iiPA????(1,2)in?? A為 12 12()()n nAPA?? ?? 12()nP??? （獨(dú)立性）)((????? 1n?∴ ，()nnPAA?????18． 三 個(gè) 人 獨(dú) 立 地 破 譯 一 密 碼 ， 他 們 能 單 獨(dú) 譯 出 的 概 率 分 別 是 ， ，153， 求 此 密 碼 被 譯 出 的 概 率 。(ln)?10． 設(shè) 、 為 兩 個(gè) 事 件 ， ， ， 求 。解法一：試驗(yàn)可模擬為 個(gè)紅球， 個(gè)白球，編上號，從中任取 k 個(gè)構(gòu)成一組，n?則總數(shù)為 ，而全為白球的取法有 種，故所求概率為 。(9)“三人均未中靶”： 。C (4) “三人中恰好有一人中靶”： 。 (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三人中只有丙未中靶”： 。(7)“三人中恰有兩人中靶”： (8)“三人中至少兩人中靶”： 。3 .設(shè) 是 兩 隨 機(jī) 事 件 ， 化 簡 事 件,AB(1) (2) )()?()?解 :(1) ,AB??(2) .)(A()AB??4．某城市的電話號碼由 5 個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從 09 這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電話號碼由五個(gè)不同數(shù)字組成的概率.解： .510324P?5． 張 獎(jiǎng) 券 中 含 有 張 有 獎(jiǎng) 的 ， 個(gè) 人 購 買 ， 每 人 一 張 ， 求 其 中 至 少 有 一nmk人 中 獎(jiǎng) 的 概 率 。14解 ： 設(shè) 所 取 兩 數(shù) 為 樣 本 空 間 占 有 區(qū) 域,XY,兩 數(shù) 之 積 小 于 : ,故 所 求 概 率?14?,()()SDSP????而 ,故 所 求 概 率 為141())(ln4)SDdx???。 B 解：若 、 互 不 相 容 ， ；())(??若 、 相 互 獨(dú) 立 ， 則 由 可 得 =. A )(ABAB??()P13．飛機(jī)投彈炸敵方三個(gè)彈藥倉庫，已知投一彈命中 1，2，3 號倉庫的概率分別為,求飛機(jī)投一彈沒有命中倉庫的概率.解：設(shè) {命中倉庫}，則 {沒有命中倉庫}，又設(shè) {命中第 i 倉庫}???i則 ，)3,21(i 03.)(,02.)(,01.( APAP根據(jù)題意 （其中 兩兩互不相容）321?31故 =++=()()??所以 .??AP即飛機(jī)投一彈沒有命中倉庫的概率為 14． 某 市 有 50%住 戶 訂 日 報(bào) ， 有 65%的 住 戶 訂 晚 報(bào) ， 有 85%的 住 戶 至 少訂 這 兩 種 報(bào) 紙 中 的 一 種 ， 求 同 時(shí) 訂 這 兩 種 報(bào) 紙 的 住 戶 的 百 分 比 解： 設(shè) {用戶訂有日報(bào) }， ={用戶訂有晚報(bào)}，則 {用戶至少訂有日?AB?BA?報(bào)和晚報(bào)一種}， {用戶既訂日報(bào)又訂晚報(bào) }，已知B，)(,)(,.)( ?PP?.??????BAA即同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比為 30%15．一批零件共 100 個(gè)，次品率為 10%，接連兩次從這批零件中任取一個(gè)零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。1）問取到白球的概率是多少？2）假設(shè)取到白球，問該球來自甲袋的概率是多少？解：設(shè) A：取到白球，B：從甲球袋取白球 243) (/)(/)(5/9 6PPAB?????/2 //()?2 一 批 產(chǎn) 品 共 有 10 個(gè) 正 品 和 2 個(gè) 次 品 ， 任 取 兩 次 ， 每 次 取 一 個(gè) ， 抽 出 后不 再 放 回 ， 求 第 二 次 抽 出 的 是 次 品 的 概 率 . 解 ： 設(shè) 表示第 次抽出次品 , ,由全概率公式iBi(1)i?= .2221111()()(BPP??0216???，其中一等品占 95%，二等品占 4%，三等品占 1%，它們能工作500 的概率分別為 90%，80% ，70%，求任取一個(gè)元件能工作 500 h概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答8解：設(shè) {取到元件為 等品}( =1,2,3) ， {取到元件能工作 500 小時(shí)以上}?iBii?A則 %1)(,4)(%,95)( 321 BPP70)(,80032A所以 )()(()( 3211 BAPA???????49527．某藥廠用從甲、乙、丙三地收購而來的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥，三地的供貨量分別占 40%，35%和 25%，且用這三地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為， 和 ，