德薩格定理在初等幾何中的應(yīng)用畢業(yè)論文-全文預(yù)覽
【正文】 致謝：《德薩格定理在初等幾何中的應(yīng)用》這篇論文從選題到文章有關(guān)知識(shí)的查詢和論文地撰寫，***老師都做了細(xì)心的指導(dǎo)，并提出了寶貴的建議。有了高等幾何的基礎(chǔ)，能更好地幫助我們挖掘初等幾何的內(nèi)涵，并將其拓展、豐富。例12. 如圖20，設(shè)A、B、C為不共線的三點(diǎn)，P是過C的定直線上的一動(dòng)點(diǎn)，AP與BC交于X，AC與BP交于Y，則XY通過AB的一定點(diǎn)。在教學(xué)過程中，為了使之與前面已學(xué)的平行的概念緊密聯(lián)系，更好地掌握平行四邊形的圖形特征，并加深對(duì)平行概念的理解及將平行滲透到基本圖形中去，教師可以借助德薩格定理設(shè)計(jì)一系列相關(guān)的命題。但是像例10這類沒有明顯與三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)有關(guān)的實(shí)際問題，事實(shí)上是可以用德薩格(Desargues)定理去解決的，關(guān)鍵就在于自主構(gòu)造這個(gè)定理所需要的條件，對(duì)于一些圖形比較復(fù)雜的問題而言，亦須如此。因此，我們可以將其轉(zhuǎn)化成為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，即有關(guān)不可到達(dá)的點(diǎn)和直線的作圖問題。求當(dāng)頂點(diǎn)A、B分別在定直線上m、n上移動(dòng)時(shí)，第三個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡。證法1用的是初等幾何的知識(shí)證明的，思考過程復(fù)雜，牽扯到兩對(duì)三角形的相似，不易想到，但在證法2中應(yīng)用德薩格(Desargues)定理的逆定理來證明，只需找到透視三角形，利用它們的透視軸無(wú)窮遠(yuǎn)直線即可證，思路清晰，簡(jiǎn)單而巧妙，大大簡(jiǎn)化了思考的過程。 但BD與AE為的兩條中線， ∴其交點(diǎn)G必為的重心。∴BH//OE。這兩個(gè)三角形由于AH//OD，可知是相似的，而另兩邊正好是中線AD被重心所分成的兩部分，所以 ∴ 問題得到解決。所以我們考慮證明的夾邊成比例AG。為此需證明。(叫做Euler線)已知：三角形，其垂心為H，重心為G，外心為O。如圖13。以上三道例題都是用德薩格定理證明的。證明：選取O為三點(diǎn)形與的透視中心，則由德薩格(Desargues)定理知，它們?nèi)龑?duì)對(duì)邊AB與DE，AC與DF，BC與EF的三個(gè)交點(diǎn)N、M、L共線。證明：三點(diǎn)N、L、M共線。試?yán)玫滤_格(Desargues)定理證明：三點(diǎn)N、L、M共線。 在三點(diǎn)形PEF與QGH中，HG//AC//FE，所以HG//FE；HQ//DC//FP，所以HQ//FP；PE//AD//QG，所以PE//QG.。證法二則用的是德薩格(Desargues)定理的逆定理證的，過程相當(dāng)簡(jiǎn)潔，沒有滲入太多繁瑣的推理，解法明了易懂，大大體現(xiàn)了德薩格(Desargues)定理的逆定理在解決此類問題中的優(yōu)越性。不妨設(shè)PR與QS的交點(diǎn)為H，則AD與PR互為異面直線，與PR和AD共面APR矛盾。，點(diǎn)X在BC上，一直線通過X分別交AB、AC于P、Q，另一直線通過X，分別交DB、DC于R、S，求證：PR與QS交于AD。證法2： ∵,對(duì)，它們的對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)共無(wú)窮遠(yuǎn)直線 ∴由德薩格(Desargues)逆定理可知其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AD，BE，CF共點(diǎn)G。(一).德薩格(Desargues)逆定理在證明共點(diǎn)問題上的應(yīng)用。應(yīng)該是共線的一個(gè)點(diǎn)，但又是與共線的點(diǎn)，兩點(diǎn)相同就表示它應(yīng)該是與的交點(diǎn)，故有一點(diǎn)使。 任意給出直線上的3相異點(diǎn)則必可確定唯一解析點(diǎn)組使。與第三種方法不同，此種方法還涉及到射影坐標(biāo)。(二) 證明過程如圖5，如果和的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線、共點(diǎn)O，則其三對(duì)對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)P、Q、R三點(diǎn)共線。下面介紹交比的幾何意義：以O(shè)為中心將映成的中心射影使。被直線所截，被直線所截，被直線所截，由梅涅勞斯定理可得： ， ，(指有向線段)將上述三式相乘，則可化簡(jiǎn)得： 由梅涅勞斯定理的逆定理知三點(diǎn)共線,即德薩格定理得證。以下是具體過程：(一) 預(yù)備知識(shí)梅涅勞斯(Menelaus)定理及其逆定理 設(shè)P、Q、R分別是的三邊BC，CA，AB上或它們延長(zhǎng)線上三點(diǎn)，則點(diǎn)P、Q、R共線的充要條件是：(二) 證明過程已知，如果它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線，通過一個(gè)點(diǎn)S。同理可證Y、Z也在平面與平面的交線上，所以X、Y、Z都在平面與平面的交線上，于是X、Y、Z共線。情況二：三點(diǎn)形和在同一平面內(nèi)。情況一：三點(diǎn)形和分別存在于兩個(gè)不同的平面和上，如圖1。異面的情況比較容易證明，只需利用線面關(guān)系，點(diǎn)線關(guān)系與點(diǎn)面關(guān)系，即可知三點(diǎn)同時(shí)落在兩個(gè)平面的交線上，則命題得證。如果兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)叫做透視中心。對(duì)偶原則是射影幾何所特有的，在射影幾何中占有重要地位，證明一個(gè)定理的同時(shí)，它的對(duì)偶命題也得到證明，起到事半功倍的作用。德薩格(Desargues)定理 如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上。他在射影幾何中確立了很多重要的定理，其中以德薩格(Desargues)定理最為著名。德薩格(Desargues)學(xué)習(xí)主要采取的是自學(xué)的方式，并主張學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)要把它用到實(shí)際中。由此體現(xiàn)了高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)性意義。用德薩格定理去解決此類問題及其派生出來的一系列相關(guān)問題，相對(duì)于初等的方法而言過程極其簡(jiǎn)便。德薩格定理主要研究的是三點(diǎn)共線或者三線共點(diǎn)的問題，而這個(gè)是初等幾何中經(jīng)常碰到的一類問題。高等幾何有助于我們更好地學(xué)習(xí)理解初等幾何。曾坐過牢，后來?yè)?dān)任過法國(guó)軍事工程師和建筑工程師。究其原因，有兩種說法
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