淺談特征值和特征向量的解法與應(yīng)用-全文預(yù)覽
【正文】 初等變換，可得到上三角矩陣令的主對角線上元素乘積為零，求得值即為矩陣A的特征值。 考察的第一列元素:若≠0, 通過行初等變換化為。（3）式兩邊同乘｜｜，得｜｜｜｜=｜｜=｜｜=0故知的特征值為 。解 用特征方程求。二 利用特殊的特征方程求特征值與特征向量。解 容易算出A的特征多項(xiàng)式是=det==因?yàn)門的特征值是=5.特征方程=0的一個基礎(chǔ)解系為, T的屬于的兩個線性無關(guān)的特征向量為 , 的屬于的全體特征向量為不同時為零)特征方程=0的一個基礎(chǔ)解系為 ,則T的屬于的全體特征向量為 （K不等于零）對于線性空間的線性變換的任一特征值，T的屬于的全部特征向量，再添上零向量所構(gòu)成的集合 是的一個線性子空間。從理論上來講，只要求出線性變換A的特征值與特征向量，就可知矩陣A的特征值與特征向量，反之亦然。為此，下面我們先論述線性變換的特征值和特征向量的解法。它不僅是數(shù)學(xué)的一個重要分支，而且已成為現(xiàn)代各科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的強(qiáng)有力工具。矩陣作為一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),一種運(yùn)算工具,對一些十分復(fù)雜的問題,處理起來十分容易。關(guān)鍵詞：特征值；特征向量；解法；應(yīng)用一位數(shù)學(xué)家曾說過:“矩陣不僅節(jié)約思想,而且還節(jié)約黑板”。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，矩陣?yán)碚摰玫搅搜杆侔l(fā)展，現(xiàn)已成為目前最有實(shí)用價值的數(shù)學(xué)理論之一。顯然，如果能將一般矩陣和某個對角矩陣聯(lián)系起來，就有希望簡化計算。而在大部分《線性代數(shù)》教材中，特征值與特征向量的討論被作為矩陣?yán)碚撗芯康囊粋€重要組成，定義為n階矩陣A的特征值與特征向量。例1 設(shè)線性變換T在的基下的矩陣是A= 求T的特征值和特征向量。的非零解，即（0 , a , a ）,aC ,a0 ,矩陣A的屬于5的特征向量是齊次線性方程組 0=0 2+2=0 2+2=0的非零解，即（a , b , b）, a, bC且不全為零。例 設(shè)階方陣有特征值，求 ,的特征值；若A可逆，求 , ,的特征值。當(dāng)A可逆時，（3）式兩邊同乘｜｜，得｜｜｜｜=｜｜=0 . 故知的特征值為 。定理1 設(shè)A是n階方陣，(AλE)T施行一系列行初等變換，可得到上三角矩陣B(λ)，令B(λ)的主對角線上元素乘積為零，求得λ值即為矩陣A的特征值。定理3：設(shè)是階方陣，為待求特征值。解：方法一[︱E]=
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