初中相似三角形基本知識點和經(jīng)典例題-全文預(yù)覽
【正文】 法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．判定定理2：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用．(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。DC，AB2=BD（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、 “蝶型”）（3） 如圖：稱為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”）”“三垂直型”） (4) 如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。AB； （3）滿足AC2=AD方法：將等式左右兩邊的比表示出來。對于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。、45176。DF=3，EF=4，則△ABC和△EDF相似嗎？為什么？ 思路點撥：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知兩邊長，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC和DE，再看三邊是否對應(yīng)成比例. 解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90176。角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90176。AB=2，AD=5，P是AD上一動點(不與A、D重合)，PE⊥BP，P為垂足，PE交DC于點E， (1)設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍； (2)請你探索在點P運(yùn)動的過程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長；如果不能，請說 明理由. 解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180176。 又∠APB+∠ABP=90176。 ∴∠D=90176?！ ∮?∵ ∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 答：河寬為85m． 總結(jié)升華：方案2利用了“”型基本圖形，實際上測量河寬有很多方法，可以用“”型基本圖形，借助相似；也可用等腰三角形等等. 舉一反三 【變式1】如圖：小明欲測量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18 m， m，他的影長是2 m． (1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么? (2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC∽△ADE． ∵BC⊥AE，DE⊥AE ∴∠ACB=∠AED=90176。. 由勾股定理，得. 在△ABC和△EDF中， ∴ ， ∴ △ABC∽△EDF(三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似). 總結(jié)升華： (1)本題易錯為只看3，6，4， 似，應(yīng)看三角形的三邊是否對應(yīng)成比例，而不是兩邊. (2)本題也可以只求出AC的長，利用兩組對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，判定兩三角形相似. 4．如圖所示，點D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，△ACD與△ABC相似？試分別加以列舉. 思路點撥：此題屬于探索問題，由相似三角形的識別方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個三角形相似，可根據(jù)相似三角形的識別方法尋找一個條件即可. 解：當(dāng)滿足以下三個條件之一時，△ACD∽△ABC. 條件一：∠1=∠B. 條件二：∠2=∠ACB. 條件三：，即. 總結(jié)升華：，用分析法，可先假設(shè)△ACD∽△ABC，：.不符合條件“最小化”原則，因為條件三能使問題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯誤的. 舉一反三 【變式1】已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點． 求證：△ADQ∽△QCP． 思路點撥：因△ADQ與△QCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知AQ與PQ是否垂直，所以不能用兩個角對應(yīng)相等判定．而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點，而BP=3PC，所以可用對應(yīng)邊成比例夾角相等的方法來判定．具體證明過程如下： 證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點，∴=2 ∵=3，∴=4 又∵BC=2DQ，∴=2 在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90176。角組成的三角形，.類型二、相似三角形的判定 2．如圖所示，已知中，E為AB延長線上的一點，AB=3BE，DE與BC相交于F，請找出圖中各對相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比. 思路點撥：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)平行線找相似三角形.
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