【正文】 元 /噸 ,超過月用水標準量部分的水價為 /噸 .該市小明家 5月份用水 12噸 ,交水費 20元 .請問 :該市規(guī)定的月用水標準量是多少噸 ? 解析 因為 12=18(元 )20(元 ),所以小明家 5月份用水量超過月用水 標準量 .設(shè)該市規(guī)定的月用水標準量是 x噸 ,依題意得 +(12x)=20, 解得 x=10. 答 :該市規(guī)定的月用水標準量是 10噸 . “ 五一放價 ” 優(yōu)惠顧客 ,若一次性購物不超過 300元不優(yōu)惠 ,超過 3 00元時按全額 9折優(yōu)惠 .一位顧客第一次購物付款 180元 ,第二次購物付 款 288元 ,若這兩次購物合并成一次付款可節(jié)省多少元 ? 解析 若第二次購物超過 300元 , 設(shè)此次所購物品價格為 x元 ,則 90%x=288,解得 x=320. 兩次所購物品價格為 180+320=500元 300元 . 所以享受 9折優(yōu)惠 ,因此應(yīng)付 50090%=450(元 ). 這兩次購物合并成一次付款可節(jié)省 180+288450=18(元 ). 若第二次購物沒有超過 300元 ,則兩次所購物品價格為 180+288=468(元 ), 這兩次購物合并成一次付款可節(jié)省 46810%=(元 ). 答 :這兩次購物合并成一次付款可節(jié)省 18元或 . ,其成本價為每件 28元 ,如果直接由廠家門市部 銷售 ,每件產(chǎn)品售價是 35元 ,每月還要支付其他費用 2 100元 。(2)根據(jù) “ 銷售總收入 =按每箱 60元銷售了 25箱的銷售收入 +其余的每箱打八折的銷售收入 , 利潤 =銷售總收入 進貨總成本 ” 即可得出結(jié)果 . 解析 (1)設(shè)第一次購進楊梅 x箱 ,則第二次購進楊梅 (60x)箱 ,依題意有 4 0(60x)50x=600, 解得 x=20, 則 60x=6020=40. 答 :第一次購進楊梅 20箱 ,第二次購進楊梅 40箱 . (2)6025+60(6025)50204040 =1 500+1 6801 0001 600 =580(元 ). 答 :商店銷售完全部楊梅所獲得的利潤為 580元 . 素養(yǎng)解讀 數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象 ,用數(shù)學(xué)語言表達問 題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng) .數(shù)學(xué)建模過程主要包括 :在 實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題 ,提出問題 ,分析問題 ,構(gòu)建模型 ,計算 求解 ,驗證結(jié)果 ,改進模型 ,最終解決實際問題 . 數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁 ,是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式 .數(shù)學(xué) 建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段 ,也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力 . 數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為 :發(fā)現(xiàn)和提出問題 ,建立和求解模型 ,檢驗和完善模 型 ,分析和解決問題 . 知識點一 配套問題 1.(2022黑龍江哈爾濱中考 )某車間有 26名工人 ,每人每天可以生產(chǎn) 800個 螺釘或 1 000個螺母 .1個螺釘需要配 2個螺母 ,為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺 母剛好配套 ,設(shè)安排 x名工人生產(chǎn)螺釘 ,則下面所列方程正確的是 ? ( ) 1 000(26x)=800x 000(13x)=800x 000(26x)=2800x 000(26x)=800x 答案 C 若安排 x名工人生產(chǎn)螺釘 ,則生產(chǎn)螺母的工人為 (26x)名 .根據(jù) 題意 ,可列方程為 1 000(26x)=2800x,故選 C. 1個 A部件和 1個 B部件配套構(gòu)成 ,每個工人每天可以加工 A 部件 1 000個或者加工 B部件 600個 ,現(xiàn)有工人 16人 ,應(yīng)怎樣安排人力 ,才能 使每天生產(chǎn)的 A部件和 B部件配套 ? 解析 設(shè)安排生產(chǎn) A部件的工人為 x人 ,則生產(chǎn) B部件的工人為 (16x)人 , 根據(jù)題意得 1 000x=600(16x),解得 x=6,則 16x=10. 答 :安排生產(chǎn) A部件和 B部件的工人分別為 6人 ,10人 . 知識點二 工程問題 ,甲單獨做需要 12小時 ,乙單獨做需要 15小時 .若甲、乙 兩人合作完成這批零件的 ? ,則需要 小時 . 23答案 ? 409解析 設(shè)甲、乙兩人合作完成這批零件的 ? 需要 x小時 ,則甲完成的工 作量為 ? ,乙完成的工作量為 ? .根據(jù)題意可知 ,? +? =? ,解得 x=? .故 甲、乙兩人合作完成這批零件的 ? 需要 ? 小時 . 23x xx23409239 ,若每天安裝 4臺 ,預(yù)計若干天完成 ,安裝 ? 后 ,改用 新法安裝 ,工作效率提高到原來的 1? 倍 ,因此比預(yù)計時間提前一天完工 , 這批機器有多少臺 ?預(yù)計幾天完成 ? 2312解析 設(shè)預(yù)計 x天完成 ,依題意有 4x=4? x+4? ? , 解得 x=9, 49=36(臺 ). 答 :這批機器有 36臺 ,預(yù)計 9天完成 . 23 11 2??????2 13xx??知識點三 商品銷售問題 5.(2022廣東深圳中考 )一球鞋廠 ,現(xiàn)打折促銷賣出 330雙球鞋 ,比上個月 多賣 10%,設(shè)上個月賣出 x雙 ,列出方程為 ? ( ) %x=330 B.(110%)x=330 C.(110%)2x=330 D.(1+10%)x=330 答案 D 由題意可得等量關(guān)系 :上個月賣出的雙數(shù) (1+10%)=現(xiàn)在賣 出的雙數(shù) ,依此列出方程為 (1+10%)若沒有 ,請說明理由 . 分析 (1)先根據(jù)購買的跳繩數(shù)量確定購買價格 ,再計算購買的費用 。 (2)若小明家 5月份用水 20噸 ,則應(yīng)繳多少水費 ? (3)若小明家 6月份繳水費 37元 ,則 6月份他家用水多少噸 ? 分析 (1)根據(jù) 4月份的用水量及繳納水費情況可知 ,當用水 量不超過 8噸時 ,每噸收費 2元 .根據(jù) 4月份的用水量及繳納水費情況 可知 ,超出 8噸的部分每噸收費 3元 。(1)=(6x20) 分 . (1)當 6x20=70時 ,x=15. 所以該同學(xué)答對了 15道題 . (2)當 6x20=86時 ,x=17? 。P=m (3)合作的效率 =單獨做的效率的和 . 當工作總量未給出具體數(shù)量時 ,常設(shè)工作總量為 “ 1” ,分析時可采用列 表或畫圖的方法來幫助理解題意 . 例 2 有一批零件加工任務(wù) ,甲單獨做 40小時完成 ,乙單獨做 30小時完成 , 甲做了幾小時后另有任務(wù) ,剩下的任務(wù)由乙單獨完成 ,乙比甲多做了 2小 時 ,求甲做了幾小時 . 分析 如果把總?cè)蝿?wù)設(shè)為 1,則甲的工作效率為 ? ,乙的工作效率為 ? , 再根據(jù) “ 工作總量 =甲完成的工作量 +乙完成的工作量 ” 列方程 . 11解析 設(shè)甲做了 x h. 根據(jù)題意 ,得 ? +? =1, 去分母 ,得 3x+4(x+2)=120. 去括號 ,得 3x+4x+8=120. 移項、合并同類項 ,得 7x=112. 系數(shù)化為 1,得 x=16. 答 :甲做了 16 h. 40x 230x ?點撥 工程問題是中考的常見題型 ,無論工作過程是怎樣的 ,都有等量 關(guān)系 :甲完成的工作量 +乙完成的工作量 +… =工作總量 . 知識點三 商品銷售問題 列方程 解決銷 售問題 敘述 在現(xiàn)實生活中 ,購買商品和銷售商品時 ,經(jīng)常會遇到進價、原價 (標 價 )、售價、打折等概念 ,在了解這些基本概念的基礎(chǔ)上 ,還必須熟悉 銷售問題中的相關(guān)公式與等量關(guān)系 . (1)相關(guān)公式 :利潤率 =? 100%。 (2)工程問題的基本數(shù)量關(guān)系 :工作總量 =工作效率 工作時間 。商品進價 (1+商品利潤率 )=商品標價 商品銷售折扣數(shù) ? 重要提示 (1)利潤是指商品售價與商品成本 (進價 )的差 ,若用 a表示售價 ,b表示成 本 ,P表示利潤 ,則三者之間的關(guān)系為 P=ab. 實際生活中 ,我們常常要計算總利潤 ,即售出某種商品一共獲得的利 潤 .這時 ,還要在上面利潤的基礎(chǔ)上乘這種商品的售出數(shù)量 .若用 w表示 總利潤 ,m表示所售出的數(shù)量 ,則總利潤可表示為 w=m 比賽總積分 =勝場積分 +負場積分 +平場積分 重要提示 所謂比賽積分問題是指一種題目類型 ,其問題情境不一定是比賽 試卷 正確個數(shù) 錯誤個數(shù) 得分 A 19 1 94 B 18 2 88 C 17 3 82 D 14 6 64 E 10 10 40 例 4 某班一次數(shù)學(xué)小測驗中 ,出了選擇題和填空題共 20道 ,總分為 100 分 ,現(xiàn)從中抽出 5份試卷進行分析 ,如下表所示 . (1)某同學(xué)得 70分 ,他答對了多少道題 ? (2)有一同學(xué) H說他得 86分 ,另一同學(xué) G說他得 72分 ,誰在說謊 ? 解析 由表中數(shù)據(jù)可知 ,答對 1題得 5分 ,答錯 1題扣 1分 .假設(shè)某同學(xué)答對 了 x道題 ,則答錯了 (20x)道題 ,因此 ,該同學(xué)得分為 5x+(20x)(3)中應(yīng) 先計算合為一次購物時付款數(shù)為多少 ,再與 (134+466)元進行比較 . 解析 (1)因為 200=180(元 ),134(元 )180(元 ),所以花費了 134元的物 品未優(yōu)惠 . 因為 500=450(元 )466(元 ),所以花費了 466元的物品有兩項優(yōu)惠 . 設(shè)花費了 466元的物品原價為 x元 ,依題意得 500+(x500)=466,解 得 x=520. 故如果不打折 ,則需分別支付 134元和 520元 . (2)節(jié)省 134+520(134+466)=54(元 ). (3)134+520=654(元 ), 原價為 654元的物品優(yōu)惠價為 500+(654500)=(元 ). 故節(jié)省 (134+466)=(元 ). 故將兩次購物合為一次購物 ,更省錢 ,比兩次購物節(jié)省 元 . 點撥 本題中條件比較復(fù)雜 ,要分別進行討論 ,才能判斷 ,分類討論是一 種重要且常用的數(shù)學(xué)思想方法 . 題型一 數(shù)字問題 例 1 一個兩位數(shù) ,個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大 5,且個位上的數(shù)字 與十位上的數(shù)字的和比這個兩位數(shù)的 ? 大 6,求這個兩位數(shù) . 17分析 本題中的等量關(guān)系 :個位上的數(shù)字 +十位上的數(shù)字 6=? 這個兩 位數(shù) . 17解析 設(shè)十位上的數(shù)字為 x,則個位上的數(shù)字為 x+5, ∴ 這個兩位數(shù)為 10x+x+5. 根據(jù)題意 ,得 x+5+x6=? (10x+x+5), 解這個方程 ,得 x=4, ∴ x+5=9, ∴ 這個兩位數(shù)為 49. 答 :這個兩位數(shù)為 49. 17點撥 用字母表示整數(shù) ,關(guān)鍵是搞清楚數(shù)位 ,例如 ,一個三位數(shù)百位上的 數(shù)字是 a,十位上的數(shù)字是 b,個位上的數(shù)字是 c,則這個三位數(shù)就表示為 a 100+b10+c. 題型二 分段計費問題 例 2 為了鼓勵市民節(jié)約用水 ,某市自來水公司對每戶用水量進行了分 段計費 ,每戶每月用水量在規(guī)定噸數(shù)以下的收費標準相同 .下表是小明 家 1~4月用水量和繳費情況 . 月份 1 2 3 4 用水量 (噸 ) 6 8 10 13 費用 (元 ) 12 16 22 31 (1)求出規(guī)定噸數(shù)和兩種收費標準 。 (2)小紅比小明多買 2根 ,付款時小紅反而比小明少 5元 .你認為有這種可 能嗎 ?若有 ,請求出小紅購買跳繩的根數(shù) 。 (2)若商店對這 60箱楊梅先按每箱 60元銷售了 25箱 ,其余的每箱打八折 銷售 .求商店銷售完全部楊梅所獲得的利潤 .(注 :按整箱出售 ,利潤 =銷售 總收入 進貨總成本 ) 素養(yǎng)呈現(xiàn) 本題以現(xiàn)實生活中的楊梅銷售為背景 ,(1)根據(jù)題意可設(shè)第 一次購進楊梅 x箱 ,則第二次購進楊梅 (60