【正文】 ，每隔4分鐘就有一架飛機(jī)接著起飛，而在第一架飛機(jī)起飛后2分鐘，又有一架飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)上降落，以后每隔6分鐘就有一架飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)上降落，降落在飛機(jī)場(chǎng)上的飛機(jī)，又依次隔4分鐘在原10架之后起飛。 （1/6）=27天 整體情況是 可以塊1/21/3=1/6分鐘 要得結(jié)果是快5分鐘 基數(shù)是20 如果仍然看作一組來(lái)結(jié)果 就會(huì)使其從到達(dá)目的得位置上被互斥操作得另一個(gè)相反操作給拖回去。 5米和3米的2個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)的操作就是互斥操作。 分別是1，2，3 則－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 這個(gè)題目剛剛看到討論 我也用排列組合的辦法參與了討論已知相鄰樓層之間有16級(jí)臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？ A：54 第2個(gè)月開始剩下一對(duì)小兔 也是6種！答案是 6＋6＝12方法二：當(dāng)然我們也可以算總的， 那么就是 是否是2種呢？顯然不是 是1種 交換以下 是 1，3 每個(gè)盒子至少的要求和插板法有出入 那么我們第一步就是想辦法滿足插板法的要求。分別選取其中任意2個(gè)間隔就可以分成3份（班級(jí)）！C8取2＝28練習(xí)題目：有10個(gè)相同的小球。 跟插板法的條件有出入， 插板法的條件是至少1個(gè)，這個(gè)時(shí)候?qū)Ρ纫幌?，我們就有了這樣的思路 ，為什么我們不把18個(gè)節(jié)目中分別給這3個(gè)年級(jí)各分配3個(gè)節(jié)目。 即3*3=9種 后兩位是50的情況有:剩下的4個(gè)數(shù)字進(jìn)行選2位排列 P4,2=12種 75不可能，因?yàn)閿?shù)字中沒有7 00也不可能，因?yàn)閿?shù)字不能重復(fù)共計(jì) 9+12=21種5. 【分享】“插板法”的條件模式隱藏運(yùn)用分析在說(shuō)這2 道關(guān)于“插板法”的排列組合題目之前，我們需要弄懂一個(gè)問(wèn)題：插板法排列組合是需要什么條件下才可以使用？這個(gè)問(wèn)題清楚了，我們?cè)谝院蟮拇痤}中 就可以盡量的變化題目使其滿足這個(gè)條件。 這里在從性別上區(qū)分 男女看作2個(gè)元素 可以互換位置 即答案是P44*2=48種(值得注意的是,這里不是*2^4 因?yàn)橐Q位置,必須5對(duì)夫婦都得換 要不然就不能保持男女間隔) (5) 夫婦相鄰 這個(gè)問(wèn)題顯然比第4個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)單多了,即看作捆綁 答案就是P44 但是這里卻是每對(duì)夫婦呼喚位置都可以算一種方法的. 即 最后答案是P44*2^5 (6)先從大方向上確定男女分開座,1 , 剩下的5個(gè)男生和5個(gè)女生單獨(dú)做直線全排列 （4）男女間隔且夫婦相鄰。 然后把相同的元素能夠形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=9979200。 [解析] 組成3位數(shù) 我們以其中一個(gè)位置(百位,十位,個(gè)位)為研究對(duì)象就會(huì)發(fā)現(xiàn) 當(dāng)某個(gè)位置固定 比如是1,那么其他的2個(gè)位置上有多少種組合? 這個(gè)大家都知道 是剩下的3個(gè)數(shù)字的全排列 P32我們研究的位置上每個(gè)數(shù)字都會(huì)出現(xiàn)P32次 所以每個(gè)位置上的數(shù)字之和就可以求出來(lái)了 個(gè)位是:P32*(1+2+3+4)=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以總和是6660 （二）幾何型排列組合問(wèn)題的求解策略有關(guān)幾何型組合題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，它的求解不僅要具備排列組合的有關(guān)知識(shí)，、靈活、能力要求高，因此要求掌握四種常用求解策略.一 分步求解例1 圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)（n＞1），以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為______．解：本題所求的三角形，即為圓的內(nèi)接直角三角形，由平面幾何知識(shí)，應(yīng)分兩步進(jìn)行：先從2n個(gè)點(diǎn)中構(gòu)成直徑（即斜邊）共有n種取法；再?gòu)挠嘞碌?2n－2)個(gè)點(diǎn)中取一點(diǎn)作為直角頂點(diǎn)，有(2n－2)種不同取法．故總共有n(2n－2)＝2n(n－1)個(gè)直角三角形．故填2n(n－1)．例2： 從集合{0、11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)原直線共有____條（結(jié)果用數(shù)值來(lái)表示）.解：因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)，所以C＝0. 從11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A、B， 兩數(shù)的順序不同，表示的直線也不同，所以直線的條數(shù)為 P（6，2）＝30．二 分類求解例3 四邊體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)中取3點(diǎn)，使它們和A在同一平面上，不同取法有（ ）(A)30種 (B)33種 (C)36種 (D)39種 解：符合條件的取法可分三類：① 4個(gè)點(diǎn)（含A）在同一側(cè)面上，有3 ＝30種；②4個(gè)點(diǎn)（含A）在側(cè)棱與對(duì)棱中點(diǎn)的截面上，有3種；由加法原理知不同取法有33種，故選B.三 排除法求解例4 從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（ ） (A) 8種 (B) 12種 (C) 16種 (D) 20種解：由六個(gè)任取3個(gè)面共有 C（6，3）＝20種，排除掉3個(gè)面都相鄰的種數(shù)，即8個(gè)角上3個(gè)平面相鄰的特殊情形共8種，故符合條件共有 20－8＝12種，故選(B)．例5 正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有（ ）個(gè)？解：從7個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有C（7，3）＝35 個(gè)，排除掉不能構(gòu)成三角形的情形．3點(diǎn)在同一直線上有3個(gè)，故符合條件的三角形共有 35－3＝32個(gè)． 四 轉(zhuǎn)化法求解 例6 空間六個(gè)點(diǎn)，它們?nèi)魏稳c(diǎn)不共線，任何四點(diǎn)不共面，則過(guò)每?jī)牲c(diǎn)的直線中有多少對(duì)異面直線？ 解：考慮到每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)著3 對(duì)異面直線，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為能構(gòu)成多少個(gè)三棱錐. 由于這六個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成C（6，4）＝15 個(gè)三棱錐，故共有315 ＝45對(duì)異面直線.例7 一個(gè)圓的圓周上有10個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連接一條弦，求這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有幾個(gè)？ 解：考慮到每個(gè)凸四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)成凸四邊形的個(gè)數(shù)．顯然可構(gòu)成 C（10，4）＝210個(gè)圓內(nèi)接四邊形，故10個(gè)點(diǎn)連成的點(diǎn)最多能在圓中交點(diǎn)210個(gè).染色問(wèn)題：不涉及環(huán)形染色 可以采用特殊區(qū)域優(yōu)先處理的方法來(lái)分步解決。1．2 不共面的點(diǎn)例2： 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（ ）A．150種 B．147種 C．144種 D．141種解析：從10 個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C（10，4）＝210 種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類：第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有C（6，2）＝15種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形，它的4個(gè)頂點(diǎn)共面，有3種。 問(wèn)有多少種方法？例如：3對(duì)夫婦圍坐在圓桌旁，男女間隔的坐法有多少種？注解：排列組合中，特殊的地方在于，第一個(gè)坐下來(lái)的人是作為參照物，所以不納入排列的范疇，我們知道，環(huán)形排列中 每個(gè)位置都是相對(duì)的位置，沒有絕對(duì)位置，所以需要有一個(gè)人坐下來(lái)作為參照位置。例題： 1，2，3，4，5 五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)十位數(shù)小于個(gè)位數(shù)的四位數(shù)？例題：7個(gè)人排成一排，其中甲在乙右邊（可以不相鄰）的情況有多少種？注解：分析2種對(duì)立情況的概率，即可很容易求解。簡(jiǎn)析：按構(gòu)成矩形的過(guò)程可分為如下兩步：第一步．先在4條平行線中任取兩條，有C4取2種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有C5取2種取法。我們可以把這個(gè)集合看成數(shù)學(xué)上的單位1，那么1＝a＋b 就是我們構(gòu)建逆向思維的數(shù)學(xué)模型了， 當(dāng)a不利于我們運(yùn)算求解的時(shí)候，我們不妨從b的角度出發(fā)思考，這樣同樣可以求出a＝1－b。 　?。ㄒ唬?雙中選出一雙同色的手套，有C（6，1）種方法； 　?。ǘ氖Ｏ碌?雙手套中任選2雙，有C（5，2）種方法。（2）在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。是相互依靠的關(guān)系。 這樣就是A（5，5）＋A（5，5）＝240(2)、乘法原理（實(shí)質(zhì)上就是一種分步原則）：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1m2m3…mn種不同的方法．例如： 7個(gè)人排座位，其中甲乙都只能坐在邊上。問(wèn)有幾種方法。我們可以求C（M，[M－N]），因?yàn)?C（M，N）＝C（M，[M－N]）二、 排列組合常見的恒等公式C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^nC（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）針對(duì)這2組公式我來(lái)舉例運(yùn)用(1)有10塊糖，假設(shè)每天至少吃1塊，問(wèn)有多少種不同的吃法？解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512(2)，公司將14副字畫平均分給甲乙篩選出參加展覽的字畫，按照要求，甲比乙多選1副，且已知甲按照要求任意挑選的方法與乙任意挑選的方法 之和為70，求，甲挑選了多少副參加展覽？C（8，n）＝70 n＝4 即得到甲選出了4副。計(jì)算方式以及技巧要求 組合：C（M，N）＝M！247。3. 【分享】排列組合新講義作者：徐克猛（天字1號(hào)） 2009219一、 排列組合定義什么是C公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列（即不排序）。 如果再P33 則是重復(fù)考慮了 如果這里不考慮路口的不同 即都是相同路口 則情況又不一樣 因?yàn)槲覀冊(cè)诜峙淙藬?shù)的時(shí)候考慮了路口的不同。所以最后的結(jié)果是兩種情況之和 即 2400＋720＝3120 （4）甲、乙必須相鄰的排法有多少種？ （1440） 【解析】相鄰用捆綁原則 2人變一人，7個(gè)位置變成6個(gè)位置，即分步討論 第1： 選位置 C6取1＝6 第2： 選出來(lái)的2個(gè)位置對(duì)甲乙在排 即P22＝2 則安排甲乙符合情況的種數(shù)是26＝12 剩下的5個(gè)人即滿足P55的規(guī)律＝120 則 最后結(jié)果是 12012＝1440 （5）甲必須在乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法有多少種？（2520） 【解析】 這個(gè)題目非常好,無(wú)論怎么安排甲出現(xiàn)在乙的左邊 和出現(xiàn)在乙的右邊的概率是一樣的。即321 這是分步選擇符合乘法原則。如：我們先安排第一個(gè)旅客是4種，再安排第2個(gè)旅客是4種選擇。比如說(shuō)我先放第1封信，有3種可能性。3 （理由同上 ，可見規(guī)律出現(xiàn)） 規(guī)律出現(xiàn) 總數(shù)是11＋9＋7＋。1 如果為10 則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是10，9，8。總距離為S。 列車從開始上橋到完全下橋所用的時(shí)間=（橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)）/列車速度1000+X=120V 1000X=80V 解得 10米/秒為節(jié)約用水，某市決定用水收費(fèi)實(shí)行超額超收，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的部分加倍收費(fèi)。 列車完全在橋上的時(shí)間=（橋長(zhǎng)車長(zhǎng)）/列車速度 米/秒 X/90+X/210=10 ）【北京社招200520】 求隊(duì)伍的長(zhǎng)度？（ 凡阻礙 也就是45分鐘問(wèn)：有多少個(gè)小朋友和多少個(gè)桃子？” 解（7+9）247。（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（3）兩次都是虧： （大虧小虧）247。 所以是9次 【例2】49名探險(xiǎn)隊(duì)員過(guò)一條小河，只有一條可乘 7人的橡皮船，過(guò)一次河需3 分鐘。次數(shù)=[（總量每次渡過(guò)去的）/（每次實(shí)際渡的）]+1【例 1】有 37 名紅軍戰(zhàn)士渡河，現(xiàn)僅有一只小船，每次只能載 5 人，需要幾次才能渡完？【廣東2005上10】 （N1）4=96 N=25 所以選A【例3】某校的學(xué)生剛好排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是 96 人，問(wèn)這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生：【浙江200318】 N=162^3*6+1=4926+2422=32X 一的個(gè)數(shù)+二的個(gè)數(shù)－都含有的個(gè)數(shù)＝總數(shù)－都不含有的個(gè)數(shù)【例3】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為 32人，在第一次考試中有 26 人及格，在第二次考試中有 24人及格，若兩次考試中，都及格的有 22 人，那么兩次考試都沒有及格的人數(shù)是多少【國(guó)2004B46】 （3）拋物線及多項(xiàng)式的靈活運(yùn)用（4）連續(xù)自然數(shù)求和和及變式運(yùn)用（5）木桶（短板）效應(yīng)（6）消去法運(yùn)用（7）十字交叉法運(yùn)用（特殊類型）（8）最小公倍數(shù)法的運(yùn)用（與剩余定理的關(guān)系）（9）雞兔同籠運(yùn)用（10）容斥原理的運(yùn)用（11）抽屜原理運(yùn)用（12）排列組合與概率：（重點(diǎn)含特殊元素的排列組合，插板法已經(jīng)變式， 靜止概率以及先【后】驗(yàn)概率）（13）年齡問(wèn)題 （14）幾何圖形求解思路 （求陰影部分面積（3）分組及雙數(shù)列規(guī)律（4）移動(dòng)求運(yùn)算數(shù)列（5）次方數(shù)列（基于平方立方的數(shù)列數(shù)字推理（1）數(shù)字性質(zhì)：奇偶數(shù)，質(zhì)數(shù)合數(shù)，同余，特定組合表現(xiàn)的特定含義 1. 【分享】數(shù)學(xué)運(yùn)算的大致?？碱愋停蠹覐?fù)習(xí)可以參照?。ㄒ唬?yīng)該劃分專項(xiàng)來(lái)練習(xí)。如果你覺得你有足夠的能力，你還可以歸納考察的思維方向是來(lái)自哪幾點(diǎn)（這個(gè)比較重要。 首先，先對(duì)國(guó)考，或者你所參加的地方考試的題型和命題風(fēng)格做一個(gè)了解。主要是保持和培養(yǎng)數(shù)字敏感性和了解一些新的題型（新的題型以了解為主，不要強(qiáng)求） 數(shù)學(xué)運(yùn)算。主要是以看和歸納為主。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)總綱 21. 【分享】數(shù)學(xué)運(yùn)算的大致?？碱愋停蠹覐?fù)習(xí)可以參照！ 32. 【分享】數(shù)學(xué)公式終極總結(jié) 43. 【分享】排列組合基礎(chǔ)知識(shí)及習(xí)題分析 84. 【分享】排列組合新講義 145. 【分享】無(wú)私奉獻(xiàn)天字一號(hào)