【正文】 權(quán)定價(jià)的具體方法。 因此，Avellaneda, Levy, Paras和Lyons等人 參見M. Avellaneda, A. Levy and A. Paras, “Pricing and Hedging Derivative Securities in Markets with Uncertain Volatilities,” Applied Mathematical Finance, 2 (1995), 7388。即使是看起來很簡(jiǎn)單的和，也需要考慮諸如買賣價(jià)差、非交易日等的影響，更不用說每個(gè)期權(quán)合約各自還有其特有的參數(shù)如執(zhí)行價(jià)格X，邊界水平等條件。如果，說明長(zhǎng)期平均方差率不起作用，未來預(yù)期波動(dòng)率等于目前的波動(dòng)率水平；如果，的權(quán)重為負(fù)，波動(dòng)率是均值偏離的而非均值回歸的，無法進(jìn)行最大似然估計(jì)，這時(shí)需要轉(zhuǎn)向其他的模型來解釋和估計(jì)波動(dòng)率。這里的被稱為衰減率（Decay Rate）。%。更一般的GARCH(p,q)模型則從最近p期的和最近q期的信息中估計(jì)方差率。1. GARCH(1,1)模型簡(jiǎn)介GARCH模型又可以分為多種，其中最常見的是GARCH(1,1)模型： （）其中、和都為常數(shù)，且，為恒定的長(zhǎng)期平均股票方差率。 3. 波動(dòng)率隨機(jī)性質(zhì)的影響，也會(huì)因到期時(shí)間的不同而不同。 1. 當(dāng)波動(dòng)率是隨機(jī)的，且與股票價(jià)格不相關(guān)時(shí)，也就是和不相關(guān)時(shí)，情形比較簡(jiǎn)單，歐式期權(quán)的價(jià)格是BS價(jià)格在期權(quán)有效期內(nèi)平均方差率分布上的積分值，即歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為 具體內(nèi)容參見J. C. Hull and A. White, “The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities,” Journal of Finance, 42 (June 1987), 281300. 這里的是方差率在期權(quán)有效期內(nèi)的平均值；是應(yīng)用和BS公式計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格，為的函數(shù)；則是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率密度函數(shù)。 Hull和White考慮了一般的和特殊的隨機(jī)波動(dòng)率模型，其中一個(gè)股票風(fēng)險(xiǎn)中性的隨機(jī)波動(dòng)率模型為 其中、和是常數(shù)，和都是維納過程，則是股票的方差率，即波動(dòng)率的平方。在為期權(quán)定價(jià)過程中，隨機(jī)波動(dòng)率也同樣可以采用BS方程所使用的無套利定價(jià)過程，只是這時(shí)候，在期權(quán)組合中，由于期權(quán)的價(jià)格函數(shù)由變?yōu)椋@時(shí)不僅需要份的標(biāo)的資產(chǎn)以消除帶來的不確定性，還需要加入份的另一種期權(quán)以消除帶來的不確定性，即，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行相應(yīng)的分析，為期權(quán)定價(jià)。在很多情況下，象股價(jià)這樣的因素并不能完全解釋波動(dòng)率的變化。這些創(chuàng)新策略的主要思路是：改變BS模型波動(dòng)率為常數(shù)的基本假設(shè)，一般是從標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)數(shù)據(jù)出發(fā)，建立波動(dòng)率的模型，使之反映真實(shí)情形，在此基礎(chǔ)上計(jì)算期權(quán)的價(jià)值。市場(chǎng)交易者主要利用它來幫助我們了解與BS模型相對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率的瞬時(shí)情形，并且為流動(dòng)性差的期權(quán)（比如我們后面將介紹的奇異期權(quán)）定出與交易活躍的常規(guī)期權(quán)一致的市場(chǎng)價(jià)格。如果市場(chǎng)使用的模型差異很大，波動(dòng)率矩陣也將不同，說明市場(chǎng)對(duì)波動(dòng)率的認(rèn)識(shí)是不同的。因此放松波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)，成為期權(quán)理論發(fā)展的一個(gè)重要方向。在任意給定的時(shí)刻，該矩陣中的某些期權(quán)在市場(chǎng)中有交易，從而這些期權(quán)的波動(dòng)率可以直接從它們的市場(chǎng)價(jià)格中計(jì)算出來，其余的點(diǎn)則可以用線性插值法確定。其中為剩余到期時(shí)間，為資產(chǎn)相應(yīng)的遠(yuǎn)期價(jià)格。即到期日接近時(shí)，隱含波動(dòng)率的變化較劇烈，隨著到期時(shí)間的延長(zhǎng)，隱含波動(dòng)率將逐漸向歷史波動(dòng)率的平均值靠近，呈現(xiàn)均值回歸現(xiàn)象。偶爾發(fā)生的崩盤事件深刻影響了投資者的心理，投資者很擔(dān)心一個(gè)類似于1987年10月的暴跌再次發(fā)生，因此市場(chǎng)對(duì)價(jià)格變化的概率估計(jì)是不對(duì)稱的，即價(jià)格顯著下跌的可能性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于顯著上升的可能性，這導(dǎo)致了隱含波動(dòng)率的偏斜。也就是說，這時(shí)，波動(dòng)率曲線的形狀不再象貨幣期權(quán)那么對(duì)稱，而是向右下方偏斜的。 股票指數(shù)期權(quán)也具有類似特征。這兩個(gè)原因?qū)е铝藰O端情況變得更有可能出現(xiàn)。實(shí)證數(shù)據(jù)同樣表明，匯率的極端變化要比對(duì)數(shù)正態(tài)分布所描繪的更經(jīng)常出現(xiàn)。因此，我們可以預(yù)期隱含分布會(huì)得到一個(gè)更高的價(jià)格從而得到更高的隱含波動(dòng)率。先考慮一個(gè)深度虛值的貨幣看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格很高，為，當(dāng)且僅當(dāng)匯率上升到高于時(shí)，這個(gè)期權(quán)才會(huì)被執(zhí)行。也就是說，平價(jià)期權(quán)的波動(dòng)率最低，而實(shí)值和虛值期權(quán)的波動(dòng)率會(huì)隨著實(shí)值或虛值程度的增大而增大，兩邊比較對(duì)稱。顯然，波動(dòng)率微笑很直觀地告訴我們，執(zhí)行價(jià)格不同，也就是說，當(dāng)期權(quán)分別處于平價(jià)、實(shí)值和虛值狀態(tài)時(shí)，即使其他條件全都相同，標(biāo)的資產(chǎn)的隱含波動(dòng)率也并不相同。更具體地說，人們通過研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格和BS公式推算出來的隱含波動(dòng)率具有以下兩個(gè)方向的變動(dòng)規(guī)律：1. 隱含波動(dòng)率會(huì)隨著期權(quán)執(zhí)行價(jià)格不同而不同，這個(gè)規(guī)律被稱為“波動(dòng)率微笑”（Volatility Smiles）；2. 隱含波動(dòng)率會(huì)隨期權(quán)到期時(shí)間不同而變化，這叫做波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)（Volatility Term Structure）。更具體地說，隱含波動(dòng)率高的期權(quán)價(jià)值相對(duì)被高估，可以做空；隱含波動(dòng)率低的期權(quán)相對(duì)被低估，可以做多，從而獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。第三節(jié) 波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)BS公式的另一個(gè)重要假設(shè)是：標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率是常數(shù)。他們發(fā)現(xiàn)，由于沒有進(jìn)行完美保值，在時(shí)間段中投資組合的方差為，這里的是投資者實(shí)際持有的標(biāo)的資產(chǎn)空頭數(shù)量。3. HWW模型的整個(gè)組合調(diào)整策略是固定的，即按照規(guī)定的時(shí)間長(zhǎng)度進(jìn)行調(diào)整，而不考慮這樣調(diào)整是否最優(yōu)。關(guān)于數(shù)值方法的使用，我們將在第八章作深入的闡述。進(jìn)一步定義 （） 當(dāng)遠(yuǎn)大于1時(shí)，說明交易成本過高，太小，調(diào)整過于頻繁；如果很小，說明成本對(duì)期權(quán)價(jià)值影響很小，選擇的時(shí)間間隔太長(zhǎng)，因此要降低，增加組合保值調(diào)整次數(shù)，以降低風(fēng)險(xiǎn)。因此，我們進(jìn)一步看到，對(duì)于同一個(gè)投資者而言，同一份期權(quán)合約上的多頭頭寸價(jià)值要低于空頭頭寸的價(jià)值。但是Leland模型只適用于單個(gè)簡(jiǎn)單期權(quán)或是所有的符號(hào)都相同的情形，因此HWW模型可以說是它的推廣。 4. 考慮單個(gè)普通期權(quán)的情形 由于單個(gè)普通期權(quán)的符號(hào)確定，所以我們可以去掉絕對(duì)值符號(hào)，得到更精確的結(jié)論。因此只有在整個(gè)組合中所有S的都是同一符號(hào)即同為多頭（或同為空頭）的情況下，這個(gè)方程才是線性的，否則就會(huì)出現(xiàn)內(nèi)部自我保值的現(xiàn)象而導(dǎo)致非線性。因此，HWW方程是一個(gè)非線性的偏微分方程。值得注意的是，其中的是依賴于投資者個(gè)人特殊情形的常數(shù)，因此相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格顯然將會(huì)隨著投資者情況的不同而不同。而公式中的，又稱為，其含義是期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的二階偏導(dǎo)，就是對(duì)保值誤差程度的衡量。（四） 對(duì)HWW方程的理解我們將HWW方程與BS微分方程進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)，在考慮交易成本問題之后，我們得到了一個(gè)類似的偏微分方程，唯一的區(qū)別在于項(xiàng)。我們可以看到，實(shí)際上這就是第六章中的離散形式再減去一個(gè)交易成本項(xiàng)。單位的標(biāo)的資產(chǎn)空頭（價(jià)值為）。Leland的結(jié)論同樣可以在HWW模型中得到解釋。當(dāng)價(jià)格跌到這個(gè)區(qū)間的下限之外的時(shí)候，才存在利用期權(quán)多頭進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)，當(dāng)價(jià)格漲到這個(gè)區(qū)間的上限之上的時(shí)候，才存在利用期權(quán)空頭進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)。為什么呢？這是因?yàn)榻灰壮杀緦?duì)于保值者來說總是一種沉沒成本，無論是多頭還是空頭，對(duì)保值成本的估計(jì)都必須從期權(quán)價(jià)值中扣除。進(jìn)一步來看，交易成本的影響具有以下兩個(gè)性質(zhì)：。所以，交易成本在期權(quán)價(jià)格的確定當(dāng)中是不可忽略的部分。即使交易成本很低，連續(xù)的交易也將導(dǎo)致很高的交易費(fèi)用；即使只進(jìn)行離散的保值調(diào)整，但只要進(jìn)行交易，投資者就必須承擔(dān)或多或少的交易成本。因此我們需要在模型中考慮跳躍的情形，同時(shí)我們也需要考察在極端變動(dòng)的情況下，可能導(dǎo)致的最差結(jié)果。我們將在第五節(jié)介紹這一方法。我們將在第三節(jié)和第四節(jié)討論這個(gè)問題。2. 波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)：BS模型假定標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率是一個(gè)已知的常數(shù)或者是一個(gè)確定的已知函數(shù)。本章的后面幾節(jié)，將分別討論這些假設(shè)放松之后的期權(quán)定價(jià)模型。2. 股票價(jià)格服從波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。因此，無論是從商業(yè)上還是從學(xué)術(shù)上來說，這個(gè)模型都非常成功。第七章 布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的擴(kuò)展在第六章中，我們?cè)谝幌盗屑俣l件下推導(dǎo)得到了著名的布萊克－舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式，在現(xiàn)實(shí)生活中，這些假設(shè)條件往往是無法成立的，本章的主要目的，就是從多個(gè)方面逐一放松這些假設(shè)，對(duì)布萊克－舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行擴(kuò)展。其三個(gè)作者中的兩個(gè)更是曾經(jīng)因此獲得諾貝爾獎(jiǎng)。BS模型最基本的假設(shè)包括：1. 沒有交易成本或稅收。在現(xiàn)實(shí)生活中，這些假設(shè)顯然都是無法成立的。我們將在第二節(jié)中介紹一些對(duì)這一假設(shè)進(jìn)行修正的模型。為了解決這個(gè)問題，人們從兩個(gè)角度來對(duì)BS模型進(jìn)行修正：從期權(quán)價(jià)格的隱含波動(dòng)率中獲取波動(dòng)率的信息，來為期權(quán)定價(jià)；從標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)出發(fā)獲取波動(dòng)率變化過程的信息，對(duì)BS公式進(jìn)行修正和擴(kuò)展。這時(shí)可以采取的方法之一是為這些參數(shù)的價(jià)值確定一個(gè)變動(dòng)區(qū)間，從而在最糟糕的情景下為期權(quán)定價(jià)。這在對(duì)數(shù)正態(tài)分布的資產(chǎn)定價(jià)模型中并沒有體現(xiàn)出來：對(duì)于正態(tài)分布來說，這些突然變動(dòng)的幅度太大，發(fā)生太過頻繁；同時(shí)，由于跳躍來得太突然，這使我們無法單純依靠對(duì)數(shù)正態(tài)擴(kuò)散模型對(duì)它們進(jìn)行動(dòng)態(tài)保值。在實(shí)際生活中，這個(gè)假設(shè)顯然是難以成立的。其中包括處于平價(jià)狀態(tài)附近的期權(quán)和即將到期的期權(quán)，這樣的期權(quán)的套期比率對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)最為敏感，從而導(dǎo)致調(diào)整頻率較高。一、 交易成本的影響分析交易成本的存在，會(huì)影響我們進(jìn)行套期保值的次數(shù)和期權(quán)價(jià)格：交易成本一方面會(huì)使得調(diào)整次數(shù)受到限制，使基于連續(xù)組合調(diào)整的BS模型定價(jià)成為一種近似；另一方面，交易成本也直接影響到期權(quán)價(jià)格本身，使得合理的期權(quán)價(jià)格成為一個(gè)區(qū)間而不是單個(gè)數(shù)值，同時(shí)許多理論上值得進(jìn)行的策略，一旦考慮交易成本之后，就變得不可行。，在調(diào)整過程中，持有同一個(gè)合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價(jià)值也不同。在這個(gè)范圍內(nèi)波動(dòng)的期權(quán)價(jià)格都無法進(jìn)行套利，因?yàn)樘桌@得的無風(fēng)險(xiǎn)收益將被交易費(fèi)用所抵消?；诖?，Hoggard，Whalley和Wilmott三個(gè)人于1992年提出了一個(gè)考慮交易成本的期權(quán)組合定價(jià)模型（簡(jiǎn)稱為HWW模型） 更詳細(xì)的推導(dǎo)和分析參見T. Hoggard, A. E. Whalley and P. Wilmott, “Hedging option portfolios in the presence of transaction costs,” Advances in Futures and Options Research, 7 (1994), 2135.，這個(gè)模型也是衍生工具理論中最早的非線性模型之一。（三） 推導(dǎo)過程無風(fēng)險(xiǎn)組合包括一單位價(jià)值為的衍生證券組合多頭和 為了與業(yè)界習(xí)慣和本書其它章節(jié)統(tǒng)一，我們同時(shí)用表示無風(fēng)險(xiǎn)組合中標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)量以及變量的變化，如，請(qǐng)讀者注意區(qū)分。 由于需要考慮交易成本，整個(gè)組合價(jià)值的變化會(huì)相應(yīng)減少： （） 其中由Ito引理求得。應(yīng)用Ito引理，的主要部分是 （） 將（）和（）代入（）中計(jì)算得到（我們簡(jiǎn)稱為HWW方程）： （）其中是的期望值 推導(dǎo)過程如下：。我們知道，通過選定適合的，我們消去了資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)導(dǎo)致的不確定性，但是因?yàn)槠跈?quán)組合價(jià)格對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的函數(shù)是一條曲線而非直線，這個(gè)僅僅對(duì)很短的時(shí)間間隔成立，隨著資產(chǎn)價(jià)格的變化，如果繼續(xù)維持原先的保值比率，就不再是無風(fēng)險(xiǎn)組合，這時(shí)如果不進(jìn)行調(diào)整，就會(huì)出現(xiàn)“保值誤差”。因此，這整項(xiàng)確實(shí)