【正文】 在為歐式互換期權(quán)估值時，通常假設(shè)期權(quán)到期日的互換率是對數(shù)正態(tài)分布的。在互換的開始，浮動利率債券的價值總是等于互換的本金的金額。遠期互換不必事先支付成本，但不利之處在于公司要承擔簽署某個互換協(xié)議的義務(wù)。如果6個月后發(fā)現(xiàn)常規(guī)的5年期的固定利率小于年率12％，則公司將不執(zhí)行互換期權(quán)而選擇按通常的方式簽署一項互換協(xié)議。它給予持有者一個在未來某個確定時間進行某個確定的利率互換的權(quán)利（當然持有者并不是必須執(zhí)行這個權(quán)利）。經(jīng)紀人所報出的波動率通常是單一波動率。對于方程中的波動率，一種方法是對每個利率期權(quán)元使用不同的波動率測度。假設(shè)一年后開始的3個月期遠期利率是年率7％（每季計復(fù)利一次）；％（每季計復(fù)利一次）；而且利率期權(quán)元所依附的3個月期利率的波動率度量為20％。從（）式得到對應(yīng)的利率下限估值的表達式為： （）在這些方程中，是到期日為的按連續(xù)復(fù)利計息的零收益率曲線利率?；Q是這樣一個協(xié)議，即收取浮動利率并支付的固定利率，但在第一個重新設(shè)定利率日并不交換利息。利率下限的出售方通常是浮動利率資金的借款方。二、利率下限和利率雙限利率下限和利率雙限（有時叫作地板－頂板協(xié)議，F(xiàn)loorCeiling Agreement）的定義與利率上限相似。因此，在時刻利率上限具有潛在的收益。包含在利率上限中的單獨期權(quán)有時稱之為利率期權(quán)元（Caplets）。例如，當每個季度開始時的3個月期LIBOR利率是年率11％時，10,000,000＝＄25,000。當它們由不同的金融機構(gòu)提供時，為獲得利率上限，可能會要求事先支付一筆承諾費。第三節(jié) 利率上限和利率下限一、利率上限金融機構(gòu)在場外市場提供的流行的利率期權(quán)是利率上限（Interest Rate Caps）。（五）收益率的波動率債券期權(quán)報價所對應(yīng)的波動率常常是收益率波動率度量而不是價格波動率度量。在債券的到期日標準偏差也是零，因為我們知道到期時債券價格將等于它的面值。（b）如果執(zhí)行價格是執(zhí)行時支付該債券的報價，由于期權(quán)的到期日是息票支付日之后的一個月，一個月的累計利息必須加到X中去。）。如果執(zhí)行價格定義為期權(quán)履約時適用該債券的報價，X應(yīng)該設(shè)定等于執(zhí)行價格加上截止到期權(quán)到期日的累計利息（交易員將債券的報價看作為“干凈價格”，而將現(xiàn)金價格看作為不純價格（Dirty Price））。從即期債券價格B可以計算出F，公式如下： （）其中I是在期權(quán)有效期內(nèi)所支付的息票的現(xiàn)值。因此，在為歐式利率期權(quán)估值時，Black模型比所期望的具有更強的理論基礎(chǔ)。用于貼現(xiàn)的變量和是從計算出來的零息票收益率。在這種情況下，有必要從時刻而不是從時刻T貼現(xiàn)該盈利。由于我們并沒有假設(shè)V和F的變化遵循幾何布朗運動，那么定義變量為波動率并不嚴格。當利率是非隨機變量時，期貨價格和遠期價格是相同的。（一）運用Black模型為歐式期權(quán)定價考慮一個基于變量V的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)利率是非隨機變量并定義：：期權(quán)到期日：在期限為T的合約中的V的未來價格：期權(quán)的執(zhí)行價格：期限為T的零息票收益：的波動率：在時刻T時V的價值：在時刻T時F的價值在時刻T，期權(quán)的盈利狀態(tài)是，由于，因此我們可認為在T時刻的期權(quán)盈利狀態(tài)為，Black模型給出0時刻歐式看漲期權(quán)的價值c為： （）其中 相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價值p為： （）（二）Black模型的擴展Black模型假設(shè)F的波動率為常數(shù)，我們可以稍微放松這個假設(shè)。為了將該模型運用于利率衍生證券的定價，人們做了各種擴展。線性插值給出的下一次試算的漂移量為： ；如此等等。假設(shè)這個漂移量給出該金融工具價格為＄。運用一系列迭代過程以確定平行漂移到所輸入的國債收益率曲線的平行漂移量，該量將使得模型的價格等于市場的價格。第二節(jié) 利率期權(quán)的定價一、經(jīng)過期權(quán)調(diào)整的價差現(xiàn)在我們開始討論利率期權(quán)的定價，利率期權(quán)定價的關(guān)鍵是利率期限結(jié)構(gòu)。期權(quán)價值內(nèi)嵌期權(quán)既可能增加主體的價值，也有可能降低主體的價值。一個利率( Interest only ) MBS僅由抵押貸款的利息償還部分組成，類似的，本金( Principal only )MBS僅由本金償還組成。除了住房抵押貸款，另外一類MBS是證券化的抵押支持證券(Collateralized Mortgage Obligation, CMO)。提前償還的定價是復(fù)雜的，因為提前償還不但依賴于利率的變動，還依賴于人口統(tǒng)計學(xué)。從MBS的投資者角度看，第二個原因更重要。一旦抵押貸款被納入資產(chǎn)池，政府抵押協(xié)會(Government National Mortgage Association, GNMA)或聯(lián)邦抵押協(xié)會( Federal National Mortgage Association, FNMA )會提供違約風(fēng)險的擔保。不動產(chǎn)抵押貸款的余額以萬億美元計，多數(shù)抵押貸款會在到期前提前償還，這意味著提前償還期權(quán)一般會被執(zhí)行。幾年前發(fā)行的美國國庫券也有贖回條款，但現(xiàn)在沒有了。這些利率期權(quán)一般是內(nèi)嵌在可贖回的公司息票債券和抵押債務(wù)中。貨幣控制辦公室（OCC）的報告還顯示，場外市場交易的期權(quán)和交易所交易的期權(quán)的比例約為3比1。根據(jù)ISDA的報告，到1997年，場外市場上交易的利率期權(quán)的名義本金已超過5萬億美元，在過去10年每年以接近35％的速度增長。在場外交易市場上，名義本金的概念是很關(guān)鍵的。主要利率期貨期權(quán)是在CBT(Chicago Board of Trade),CMT(Chicago Mercantile Exchange)和LIFFE(London International Financial Futures Exchange)交易的。期權(quán)調(diào)整差額(Option Adjusted Spread, OAS)的含義。還要掌握為利率期權(quán)定價的解析工具。一、交易所交易的利率期權(quán)交易所交易的利率期權(quán)主要是指利率期貨期權(quán)，此外還有一些債券期權(quán)，在第13章，我們討論了期貨期權(quán)定價的一般情況，在這一章，我們將通過利率期貨期權(quán)更加深入地討論這一問題。不過，我們有可能確定其市場規(guī)模的下限，因為我們可以利用有兩個數(shù)據(jù)來源，一個是國際互換和衍生工具協(xié)會（International Swaps and Derivatives Association，ISDA），ISDA會定期調(diào)查其成員的交易規(guī)模和營業(yè)資產(chǎn)；還有一個是美國貨幣審計辦公室（Office of the Comptroller），它要求商業(yè)銀行提交衍生產(chǎn)品交易的報告。名義本金是用來計算利息額的本金數(shù)量，它既不是實際的風(fēng)險暴露，也不進行實際的支付，只是計算利息流的基礎(chǔ)。1997年，兩者都是用名義本金來衡量的。三、內(nèi)嵌的利率期權(quán)除了在交易所和場外市場直接交易的利率期權(quán)，有大量的利率期權(quán)是內(nèi)嵌在其他證券之中的。這個贖回條款在本質(zhì)上是一個利率期權(quán)，因為贖回條款的價值依賴于債券的價值，而債券的價值依賴于利率。幾乎所有的不動產(chǎn)抵押都含有提前償還條款，它允許借款人在抵押到期前提前償還負債，這個提前償還條款是貸款人提供給借款人的。MBS的投資者投資于由抵押貸款構(gòu)成的組合，并按事先確定的比例參與組合現(xiàn)金流的分配。提前償還住房抵押貸款的原因主要有兩個：首先是一些人賣掉了住房，其次是為了利用更有利的再融資利率。從MBS投資者角度看，本金的償還是不受歡迎的，因為這主要出現(xiàn)在利率很低的時候，MBS的投資者將面臨以一個更低的利率投資。MBS專家要花費大量的時間和精力，考慮提前償還。此外，抵押貸款也可以剝離成利息和本金量部分，在一個典型的抵押貸款中，每個月的償還額中的一部分是償還當月的利息，剩下的部分是償還本金。含內(nèi)嵌期權(quán)的金融工具的價值＝主體價值177。在這兩種主要的內(nèi)嵌期權(quán)中，借款人擁有期權(quán)，因此期權(quán)降低了資產(chǎn)的價值，提高了資產(chǎn)的收益率。將模型給出的該金融工具的價格與它在市場中的價格進行比較