【正文】 在為歐式互換期權(quán)估值時(shí)，通常假設(shè)期權(quán)到期日的互換率是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的。在互換的開始，浮動(dòng)利率債券的價(jià)值總是等于互換的本金的金額。遠(yuǎn)期互換不必事先支付成本，但不利之處在于公司要承擔(dān)簽署某個(gè)互換協(xié)議的義務(wù)。如果6個(gè)月后發(fā)現(xiàn)常規(guī)的5年期的固定利率小于年率12％，則公司將不執(zhí)行互換期權(quán)而選擇按通常的方式簽署一項(xiàng)互換協(xié)議。它給予持有者一個(gè)在未來某個(gè)確定時(shí)間進(jìn)行某個(gè)確定的利率互換的權(quán)利（當(dāng)然持有者并不是必須執(zhí)行這個(gè)權(quán)利）。經(jīng)紀(jì)人所報(bào)出的波動(dòng)率通常是單一波動(dòng)率。對(duì)于方程中的波動(dòng)率，一種方法是對(duì)每個(gè)利率期權(quán)元使用不同的波動(dòng)率測(cè)度。假設(shè)一年后開始的3個(gè)月期遠(yuǎn)期利率是年率7％（每季計(jì)復(fù)利一次）；％（每季計(jì)復(fù)利一次）；而且利率期權(quán)元所依附的3個(gè)月期利率的波動(dòng)率度量為20％。從（）式得到對(duì)應(yīng)的利率下限估值的表達(dá)式為： （）在這些方程中，是到期日為的按連續(xù)復(fù)利計(jì)息的零收益率曲線利率?；Q是這樣一個(gè)協(xié)議，即收取浮動(dòng)利率并支付的固定利率，但在第一個(gè)重新設(shè)定利率日并不交換利息。利率下限的出售方通常是浮動(dòng)利率資金的借款方。二、利率下限和利率雙限利率下限和利率雙限（有時(shí)叫作地板－頂板協(xié)議，F(xiàn)loorCeiling Agreement）的定義與利率上限相似。因此，在時(shí)刻利率上限具有潛在的收益。包含在利率上限中的單獨(dú)期權(quán)有時(shí)稱之為利率期權(quán)元（Caplets）。例如，當(dāng)每個(gè)季度開始時(shí)的3個(gè)月期LIBOR利率是年率11％時(shí)，10,000,000＝＄25,000。當(dāng)它們由不同的金融機(jī)構(gòu)提供時(shí)，為獲得利率上限，可能會(huì)要求事先支付一筆承諾費(fèi)。第三節(jié) 利率上限和利率下限一、利率上限金融機(jī)構(gòu)在場(chǎng)外市場(chǎng)提供的流行的利率期權(quán)是利率上限（Interest Rate Caps）。（五）收益率的波動(dòng)率債券期權(quán)報(bào)價(jià)所對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率常常是收益率波動(dòng)率度量而不是價(jià)格波動(dòng)率度量。在債券的到期日標(biāo)準(zhǔn)偏差也是零，因?yàn)槲覀冎赖狡跁r(shí)債券價(jià)格將等于它的面值。（b）如果執(zhí)行價(jià)格是執(zhí)行時(shí)支付該債券的報(bào)價(jià)，由于期權(quán)的到期日是息票支付日之后的一個(gè)月，一個(gè)月的累計(jì)利息必須加到X中去。）。如果執(zhí)行價(jià)格定義為期權(quán)履約時(shí)適用該債券的報(bào)價(jià)，X應(yīng)該設(shè)定等于執(zhí)行價(jià)格加上截止到期權(quán)到期日的累計(jì)利息（交易員將債券的報(bào)價(jià)看作為“干凈價(jià)格”，而將現(xiàn)金價(jià)格看作為不純價(jià)格（Dirty Price））。從即期債券價(jià)格B可以計(jì)算出F，公式如下： （）其中I是在期權(quán)有效期內(nèi)所支付的息票的現(xiàn)值。因此，在為歐式利率期權(quán)估值時(shí)，Black模型比所期望的具有更強(qiáng)的理論基礎(chǔ)。用于貼現(xiàn)的變量和是從計(jì)算出來的零息票收益率。在這種情況下，有必要從時(shí)刻而不是從時(shí)刻T貼現(xiàn)該盈利。由于我們并沒有假設(shè)V和F的變化遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，那么定義變量為波動(dòng)率并不嚴(yán)格。當(dāng)利率是非隨機(jī)變量時(shí)，期貨價(jià)格和遠(yuǎn)期價(jià)格是相同的。（一）運(yùn)用Black模型為歐式期權(quán)定價(jià)考慮一個(gè)基于變量V的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)利率是非隨機(jī)變量并定義：：期權(quán)到期日：在期限為T的合約中的V的未來價(jià)格：期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格：期限為T的零息票收益：的波動(dòng)率：在時(shí)刻T時(shí)V的價(jià)值：在時(shí)刻T時(shí)F的價(jià)值在時(shí)刻T，期權(quán)的盈利狀態(tài)是，由于，因此我們可認(rèn)為在T時(shí)刻的期權(quán)盈利狀態(tài)為，Black模型給出0時(shí)刻歐式看漲期權(quán)的價(jià)值c為： （）其中 相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值p為： （）（二）Black模型的擴(kuò)展Black模型假設(shè)F的波動(dòng)率為常數(shù)，我們可以稍微放松這個(gè)假設(shè)。為了將該模型運(yùn)用于利率衍生證券的定價(jià)，人們做了各種擴(kuò)展。線性插值給出的下一次試算的漂移量為： ；如此等等。假設(shè)這個(gè)漂移量給出該金融工具價(jià)格為＄。運(yùn)用一系列迭代過程以確定平行漂移到所輸入的國債收益率曲線的平行漂移量，該量將使得模型的價(jià)格等于市場(chǎng)的價(jià)格。第二節(jié) 利率期權(quán)的定價(jià)一、經(jīng)過期權(quán)調(diào)整的價(jià)差現(xiàn)在我們開始討論利率期權(quán)的定價(jià)，利率期權(quán)定價(jià)的關(guān)鍵是利率期限結(jié)構(gòu)。期權(quán)價(jià)值內(nèi)嵌期權(quán)既可能增加主體的價(jià)值，也有可能降低主體的價(jià)值。一個(gè)利率( Interest only ) MBS僅由抵押貸款的利息償還部分組成，類似的，本金( Principal only )MBS僅由本金償還組成。除了住房抵押貸款，另外一類MBS是證券化的抵押支持證券(Collateralized Mortgage Obligation, CMO)。提前償還的定價(jià)是復(fù)雜的，因?yàn)樘崆皟斶€不但依賴于利率的變動(dòng)，還依賴于人口統(tǒng)計(jì)學(xué)。從MBS的投資者角度看，第二個(gè)原因更重要。一旦抵押貸款被納入資產(chǎn)池，政府抵押協(xié)會(huì)(Government National Mortgage Association, GNMA)或聯(lián)邦抵押協(xié)會(huì)( Federal National Mortgage Association, FNMA )會(huì)提供違約風(fēng)險(xiǎn)的擔(dān)保。不動(dòng)產(chǎn)抵押貸款的余額以萬億美元計(jì)，多數(shù)抵押貸款會(huì)在到期前提前償還，這意味著提前償還期權(quán)一般會(huì)被執(zhí)行。幾年前發(fā)行的美國國庫券也有贖回條款，但現(xiàn)在沒有了。這些利率期權(quán)一般是內(nèi)嵌在可贖回的公司息票債券和抵押債務(wù)中。貨幣控制辦公室（OCC）的報(bào)告還顯示，場(chǎng)外市場(chǎng)交易的期權(quán)和交易所交易的期權(quán)的比例約為3比1。根據(jù)ISDA的報(bào)告，到1997年，場(chǎng)外市場(chǎng)上交易的利率期權(quán)的名義本金已超過5萬億美元，在過去10年每年以接近35％的速度增長(zhǎng)。在場(chǎng)外交易市場(chǎng)上，名義本金的概念是很關(guān)鍵的。主要利率期貨期權(quán)是在CBT(Chicago Board of Trade),CMT(Chicago Mercantile Exchange)和LIFFE(London International Financial Futures Exchange)交易的。期權(quán)調(diào)整差額(Option Adjusted Spread, OAS)的含義。還要掌握為利率期權(quán)定價(jià)的解析工具。一、交易所交易的利率期權(quán)交易所交易的利率期權(quán)主要是指利率期貨期權(quán)，此外還有一些債券期權(quán)，在第13章，我們討論了期貨期權(quán)定價(jià)的一般情況，在這一章，我們將通過利率期貨期權(quán)更加深入地討論這一問題。不過，我們有可能確定其市場(chǎng)規(guī)模的下限，因?yàn)槲覀兛梢岳糜袃蓚€(gè)數(shù)據(jù)來源，一個(gè)是國際互換和衍生工具協(xié)會(huì)（International Swaps and Derivatives Association，ISDA），ISDA會(huì)定期調(diào)查其成員的交易規(guī)模和營(yíng)業(yè)資產(chǎn)；還有一個(gè)是美國貨幣審計(jì)辦公室（Office of the Comptroller），它要求商業(yè)銀行提交衍生產(chǎn)品交易的報(bào)告。名義本金是用來計(jì)算利息額的本金數(shù)量，它既不是實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)暴露，也不進(jìn)行實(shí)際的支付，只是計(jì)算利息流的基礎(chǔ)。1997年，兩者都是用名義本金來衡量的。三、內(nèi)嵌的利率期權(quán)除了在交易所和場(chǎng)外市場(chǎng)直接交易的利率期權(quán)，有大量的利率期權(quán)是內(nèi)嵌在其他證券之中的。這個(gè)贖回條款在本質(zhì)上是一個(gè)利率期權(quán)，因?yàn)橼H回條款的價(jià)值依賴于債券的價(jià)值，而債券的價(jià)值依賴于利率。幾乎所有的不動(dòng)產(chǎn)抵押都含有提前償還條款，它允許借款人在抵押到期前提前償還負(fù)債，這個(gè)提前償還條款是貸款人提供給借款人的。MBS的投資者投資于由抵押貸款構(gòu)成的組合，并按事先確定的比例參與組合現(xiàn)金流的分配。提前償還住房抵押貸款的原因主要有兩個(gè)：首先是一些人賣掉了住房，其次是為了利用更有利的再融資利率。從MBS投資者角度看，本金的償還是不受歡迎的，因?yàn)檫@主要出現(xiàn)在利率很低的時(shí)候，MBS的投資者將面臨以一個(gè)更低的利率投資。MBS專家要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力，考慮提前償還。此外，抵押貸款也可以剝離成利息和本金量部分，在一個(gè)典型的抵押貸款中，每個(gè)月的償還額中的一部分是償還當(dāng)月的利息，剩下的部分是償還本金。含內(nèi)嵌期權(quán)的金融工具的價(jià)值＝主體價(jià)值177。在這兩種主要的內(nèi)嵌期權(quán)中，借款人擁有期權(quán)，因此期權(quán)降低了資產(chǎn)的價(jià)值，提高了資產(chǎn)的收益率。將模型給出的該金融工具的價(jià)格與它在市場(chǎng)中的價(jià)格進(jìn)行比較